के बीच अंतर $\forall n\in\mathbb N$ तथा $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
वास्तव में अंतर के बारे में उलझन में है $\forall n\in\mathbb N$ तथा $\bigcap_{i=1}^\infty$।
अंडरस्टैंडिंग एनालिसिस में, मैं व्यायाम 1.2.13 से उद्धृत करता हूं। उस
यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरण के लिए अपील करने के लिए आकर्षक है $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$।
लेकिन इंडक्शन यहां लागू नहीं होता है। इंडक्शन का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जाता है कि एक विशेष स्टेटमेंट हर मूल्य के लिए है$n\in\mathbb N$, लेकिन यह अनंत मामले की वैधता का मतलब नहीं है।
कुछ समय के लिए उस पर कुछ शोध किया है और समझा है कि अंततः तथ्य यह है कि मैं एक बात कर सकते हैं $n\in\mathbb N$ मतलब कि $n$परिमित है। इसलिए, यह अनंत मामले पर लागू नहीं हो सकता।
हां, मैं औचित्य को समझता हूं। लेकिन अगर$\forall n \in\mathbb N$ काम नहीं करता है, तो अनंत मामले को साबित करने पर क्या काम करता है?
जैसे मैं अंतर के बारे में कम्फर्टेबल महसूस करता हूं। भ्रम फिर से पुस्तक द्वारा लाया जाता है और मैं निम्नलिखित में उद्धृत करता हूं, इसे यथासंभव कम करने की उम्मीद में:
नेस्टेड अंतराल संपत्ति मानती है कि प्रत्येक $I_n$ होता है $I_{n+1}$। वे इस तरह के रूप में परिभाषित बंद अंतराल के एक नेस्टेड अनुक्रम हैं।$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$।
प्रमाण एक एकल वास्तविक संख्या x खोजने पर केंद्रित है जो सभी का है $I_n$ और यह तर्क देता है कि यह सर्वोच्च है।
प्रमाण में, यह कहा $x\in I_n$, हर पसंद के लिए $n\in\mathbb N$। इसलिये,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ और चौराहा खाली नहीं है।
मुझे बताएं कि क्या छूटे हुए विवरण की आवश्यकता है। हालाँकि, मेरी बात सिर्फ इतनी है:
- अनंत डी मॉर्गन के शासन में क्यों $\forall n\in\mathbb N$ पर लागू नहीं होता है $\infty$
- नेस्टेड अंतराल संपत्ति में क्यों $\forall n\in\mathbb N$ पर लागू होता है $\infty$
जवाब
$\forall n\in\Bbb N$ कभी लागू नहीं होता है$\infty$, इसलिये $\infty$ का एक तत्व नहीं है $\Bbb N$। नेस्टेड अंतराल के प्रमेय में कोई नहीं है $I_\infty$। हम जो जानते हैं, वह है$x\in I_n$ प्रत्येक के लिए $n\in\Bbb N$, और इसलिए परिभाषा के अनुसार $n$ सेट के चौराहे पर है $I_n$। आप इस चौराहे को कॉल कर सकते हैं$I_\infty$ यदि आप ऐसा करना चाहते हैं, लेकिन यह एक मनमाना विकल्प होगा जो पूरी तरह से इंडक्शन तर्क से स्वतंत्र होगा जिसमें सेट शामिल हैं $I_n$; आप बस इसे जॉर्ज कह सकते हैं। (कई साल पहले मेरे एक दोस्त ने वास्तव में एक गणितीय वस्तु के बारे में एक पेपर प्रकाशित किया था जिसे उन्होंने जॉर्ज नाम दिया था।)
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, कोई भी सेट के मनमाने परिवारों के लिए यह साबित करता है कि केवल यह दर्शाता है कि प्रस्तावित पहचान का प्रत्येक पक्ष दूसरे का उपसमूह है। यह सेट के मनमाने अनुक्रमित परिवारों के लिए किया जाता है यहाँ और इस उत्तर में (और शायद MSE में अन्य स्थानों पर भी)। सबूत सेट के परिमित परिवारों के लिए प्रमेय पर निर्भर नहीं करता है और इसमें किसी भी प्रकार का प्रेरण शामिल नहीं है।
डी मॉर्गन का नियम अनंत सेटों के लिए काम करता है। लेकिन इसे डी मॉर्गन के नियम के परिमित संस्करण में शामिल करके साबित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्रेरण यह साबित करने के लिए एक उपकरण है कि एक बयान मनमाने ढंग से बड़े मूल्य के लिए सच है$n$ (लेकिन आ $n$ अभी भी परिमित है)।
के रूप में एक अनगिनत अनंत संख्या सेट के चौराहे के लिए, यह परिभाषा से इस प्रकार है। हम कहते हैं कि$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ अगर $x \in I_n$ सबके लिए $n \in \mathbb N$।