के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Question

मैं पूछना चाहूंगा कि क्या $|x|<1$, हम उत्पाद को व्यक्त कर सकते हैं $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ एक समारोह के रूप में $f(x)$। मैंने वीयरस्ट्रैस फैक्टराइजेशन प्रमेय का उपयोग करने की कोशिश की, लेकिन बहुत अधिक सफलता के बिना।

मैं वास्तव में एक संदर्भ या एक समाधान की सराहना करूंगा।

Answer 1

जैसा कि पहले ही टिप्पणियों में देखा गया है, अभिव्यक्ति के लिए अनंत उत्पादों से प्राप्त किया जा सकता है $\Gamma$(या तो यूलर के एक, या वेइरास्ट्रास के एक):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ और "बीजगणितीय" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, दे रहा है $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$यह आसानी से अधिक सामान्य "तर्कसंगत अनंत उत्पादों" पर लागू होता है, जैसा कि यहां उल्लिखित है ।

Answer 2

टिप्पणी:

इस उत्पाद की सीमा को पाया जा सकता है Weigstrassn असमानता usig:

अगर $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ वास्तविक सकारात्मक पूर्णांक एकता से कम हैं, और:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

तब फिर:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

हम कहाँ दे सकते हैं:

$a_n=\frac x {n^3}$