किसी अनुक्रम का योग उसके विषम शब्दों के योग से प्राप्त करें।

Aug 16 2020

मैं योग की गणना करना चाहूंगा $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ के फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके $f(x)=|x|$ ऊपर $(-\pi,\pi)$। गुणांक$b_k$ सभी हैं $0$ इसलिये $f$सम है। एकीकरण सामान करते हुए, मैंने प्राप्त किया:$$ a_0 = \pi $$ तथा $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ के लिये $k>0$। पार्सल की समानता देता है:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ जो देता है $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ जो सरल करता है $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ जो मूल रूप से कहता है: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ किसी भी विचार कैसे वहाँ से राशि प्राप्त करने के लिए?

जवाब

1 AlessandroCigna Aug 16 2020 at 02:46

निरीक्षण करें कि आपके पास क्या है $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$। बुला रहा है$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ तुम्हारे पास वह है $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ और अंत में आपके पास है $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ किस से $S=\frac {\pi^4}{90}$

1 Riemann'sPointyNose Aug 16 2020 at 02:51

आपके पास अनिवार्य रूप से है

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

आप खोजना चाहते हैं

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

दूसरे शब्दों में, आप जोड़ना चाहते हैं

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

फैक्टरिंग ए ${\frac{1}{2^4}}$ उपरोक्त पैदावार पर

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

तो कुल मिलाकर, अगर आप फोन करते हैं ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ आपके पास

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

अब आप के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ${S}$?