Kontsevich परिमाणीकरण में ऑपरेटर का पता चलता है
परिमाणीकरण में, एक स्टडी स्पेस के फंक्शन से लेकर हिल्बर्ट स्पेस पर काम करने वाले ऑपरेटरों तक के नक्शे का अध्ययन करता है। आइए ऐसे ही एक नक्शे को ठीक करें और इसे कॉल करें$Q$।
विरूपण परिमाणीकरण इस विचार पर आधारित है कि $Q$ अप्रत्यक्ष स्टार उत्पाद के साथ चरण स्थान पर कार्यों के रैखिक वेक्टर स्थान को समाप्त करके, परोक्ष रूप से अध्ययन किया जा सकता है:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich स्टार उत्पाद के लिए एक स्पष्ट सूत्र देता है जिसे किसी भी कॉम्पैक्ट चरण स्थान पर लागू किया जा सकता है और सही व्यवहार के साथ एक सहयोगी बीजगणित देता है$\hbar \rightarrow 0$सीमा। इसलिए अक्सर यह दावा किया जाता है कि कोंटेसेविच सूत्र यह साबित करने की लंबे समय से चली आ रही समस्या को हल करता है कि कोई भी कॉम्पैक्ट सहानुभूति कई बार एक परिमाण को स्वीकार करती है।
हालांकि, क्वांटम यांत्रिकी का अन्य महत्वपूर्ण घटक एक ऑपरेटर का निशान है। भौतिक भविष्यवाणी करने के लिए निशान आवश्यक हैं, यानी वेधशालाओं के प्रत्याशा मान घनत्व मैट्रिक्स द्वारा गुणा किए गए संबंधित ऑपरेटरों के निशान हैं।
Kontsevich फार्मूला मुझे एक परिमाणीकरण मानचित्र नहीं देता है, केवल स्टार उत्पाद। तो मैं कैसे गणना करूं$\text{tr} Q(f)$ केवल जानने के द्वारा $f$?
एक संभावित उत्तर जो मैं देख रहा हूं कि शास्त्रीय सूत्र यह है: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
यहाँ $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ सहानुभूति रूप से संबंधित आयतन रूप है $\omega$, और इंटीग्रल चरण स्थान पर है।
लेकिन मैंने कभी किसी को निश्चित रूप से यह कहते हुए नहीं सुना कि वास्तव में यह चरण अंतरिक्ष अभिन्न परिमाण परिमाणीकरण में परिचालक ट्रेस का प्रतिरूप है, और मैं इसे दिखाने के लिए एक अच्छे तर्क के साथ नहीं आ सकता। $\mathcal{O}(\hbar)$ सुधार दिखाई नहीं देते हैं।
मेरे प्रश्न हैं:
- कर $\mathcal{O}(\hbar)$ चरण अंतरिक्ष के अभिन्न अंग सामान्य में दिखाई देते हैं?
- यदि वे करते हैं, तो क्या ट्रेस के लिए एक स्पष्ट सूत्र है?
- अगर वे नहीं करते हैं, तो मैं खुद को कैसे समझाऊं?
जवाब
विकिपीडिया का कहना है कि ट्रेस ऑपरेशन (स्केलर गुणकों तक) को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गुण हैं:
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
किसी भी रैखिक के लिए $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ तीनों गुणों को संतुष्ट करेगा। $\int f d\Omega $स्पष्ट रूप से संतुष्ट (1) और (2)। (3) के लिए, हम वह दिखाना चाहते हैं$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $। यह दिखाना आसान है कि$O(1)$ तथा $O(\hbar)$ शब्द पर्याप्त रूप से अच्छे के लिए गायब हो जाते हैं $f,g$(भागों और मिश्रित भाग की समानता द्वारा एकीकरण का उपयोग करते हुए)। हालाँकि, मुझे नहीं समझ में आता है कि कोंटेसेविच ग्राफ इस तर्क को उच्च आदेशों में विश्वास करने के लिए पर्याप्त रूप से विस्तारित करते हैं$\hbar$। यदि आप एक संदर्भ या स्पष्टीकरण पा सकते हैं, तो मुझे बताएं। तर्क का विस्तार करते हुए, हम पाते हैं कि$\mathrm{tr} Q(f)$ तथा $\int f d\Omega $ एक स्केलर मल्टीपल के बराबर हैं।
अपेक्षा मूल्यों द्वारा दी जाती है $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, इसलिए हम अपने ट्रेस ऑपरेशन को सामान्य करने का विकल्प चुन सकते हैं $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$यह सभी भौतिकी को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। आप एक में परिभाषित कर सकते हैं$O(\hbar)$ मूल अभिन्न सूत्र में शब्द, लेकिन एक बार जब आप अपने घनत्व मैट्रिक्स को सामान्य करते हैं तो इसका कोई भौतिक प्रभाव नहीं होता है।