क्या आयाम में केंद्र-सममित आत्म-दोहरी पॉलीटोप हैं $d> 4$?
एक उत्तल पोलीटोप$P\subset\Bbb R^d$है केंद्रीय सममित अगर$-P=P$। यदि यह ध्रुवीय दोहरी है तो यह स्व-दोहरी (या बेहतर, स्व-ध्रुवीय?) है$P^\circ$ के अनुरूप है $P$, वह है, एक नक्शा है $X\in\mathrm O(\smash{\Bbb R^d})$ साथ से $\smash{P^\circ}=XP$।
प्रश्न: क्या आयाम में केंद्रीय रूप से सममित आत्म-दोहरी पॉलीटॉप हैं$d>4$?
आयाम में ऐसे मौजूद हैं $d=2$ तथा $d=4$:
- के लिये $d=2$ हमारे पास नियमित 2n-gons हैं,
- के लिये $d=4$ हमारे पास नियमित 24-सेल है।
जवाब
हर आयाम में केंद्रीय रूप से सममित आत्म-दोहरी पॉलीटॉप हैं। यह Reisner, S. , Prop में 3.9 के प्रस्ताव से आता है , कुछ बेनाच रिक्त स्थान ग्राफ और CL-रिक्त स्थान के साथ 1- बिना शर्त आधार , जे। लोंड। मठ। सोक।, द्वितीय। सेर। 43, नंबर 1, 137-148 (1991)। ZBL0757.46030 ।
इसके अलावा, आयाम में $\geqslant 3$ गणित का सवाल $X$ एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स चुना जा सकता है।
यहाँ आयाम में एक उदाहरण है $3^d$ हर एक के लिए $d$। Sztencel-Zaramba polytope से शुरू करें$P$। यह मानदंड के लिए यूनिट बॉल है$\mathbf{R}^3$ $$ \|(x,y,z)\| = \max \left( |y|+|z|, |x|+\frac 12 |z| \right)$$ जिसका दोहरा आदर्श संतुष्ट करता है $$ \|(x,y,z)\|_* = \|(z,y,x)\|. $$ हम अब एक अनुक्रम को परिभाषित कर सकते हैं $\|\cdot\|_d$, जो आदर्श है $\mathbf{R}^{3^d}$ (के साथ पहचान की गई $\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}$) का है। चुना$\|\cdot\|_1$ आदर्श से ऊपर होने के लिए, और पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करें $$ \|(x,y,z)\|_{d+1} = \|( \|x\|_d ,\|y\|_d , \|z\|_d )\|_1 .$$ इंडक्शन द्वारा एक जाँच की जाती है कि एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है जो अपने ध्रुवीय पर यूनिट बॉल को मैप करता है।
पोलीटोप कल्पना करने के लिए $P$ आप ऋषि कोड का उपयोग कर सकते हैं
p1 = Polyhedron(vertices=[[0,1,1],[0,1,-1],[0,-1,1],[0,-1,-1],[1,0,1/2],[1,0,-1/2],[-1,0,1/2],[-1,0,-1/2]])
p1.projection().plot()