क्या कोई गैर-स्थिर फ़ंक्शन है $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ ऐसा है कि $f(x) = f(x + 1/x)$?
मैं एक गैर-स्थिर फ़ंक्शन की तलाश कर रहा हूं $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ ऐसा है कि $f(x) = f(x + 1/x)$, या ऐसा कोई प्रमाण मौजूद नहीं है।
की जगह $x$ द्वारा द्वारा $1/x$ शो हमारे पास होना चाहिए $f(x) = f(1/x)$।
मुझे सबसे ज्यादा दिलचस्पी है (गैर-) चिकनी गैर-स्थिर के अस्तित्व में$f$।
जवाब
प्रत्येक निरंतर कार्य के लिए असीम रूप से कई निरंतर समाधान होने चाहिए $g:[1,2]\to \mathbb{R}$ साथ से $g(1)=g(2)$। उपयुक्त सीमा और विभिन्नता शर्तों को लागू करने के बाद$g$, हम समारोह को सुचारू बना सकते हैं।
लश्कर $x_1=1$ तथा $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$। फिर$1\le x_n\le n$ और हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन द्वारा, $x_n\to\infty$ जैसा $n\to \infty$। जबसे$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$ सख्ती बढ़ रही है $[1,\infty)$, से प्रत्येक $x\in[1,\infty)$ बिल्कुल एक के अंतर्गत आता है $[x_{n+1},x_{n+2})$ तथा $x=h^n(y)$ बिल्कुल एक के लिए $y\in[1,2)$। फिर हम परिभाषित करते हैं$f(x)=g(y)$। संबंध का उपयोग करना$f(x)=f(1/x)$, यह तक फैली हुई है $(0,\infty)$। यह निरंतर है क्योंकि यह प्रत्येक पर निरंतर है$[x_n,x_{n+1}]$ और अंत बिंदुओं पर सहमत हैं।