क्या पूर्णांक बहुपद और तर्कसंगत बहुपद का संयोजन पूर्णांक बहुपद में गैर-पूर्णांक गुणांक परिणाम के साथ हो सकता है?

Question

क्या हम दो बहुपदों को पा सकते हैं $p(x)$ तथा $q(x)$, कहाँ पे $p(x)$ पूर्णांकों पर एक गैर-स्थिर मोनोनिक बहुपद है और $q(x)$ कम से कम एक गैर-पूर्णांक गुणांक के साथ परिमेय पर एक राक्षसी बहुपद है, जैसे कि उनकी रचना $p(q(x))$पूर्णांक पर एक बहुपद है? यदि नहीं, तो इसे कैसे सिद्ध किया जाए?

उदाहरण के लिए बता दें $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ तथा $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, फिर $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या पूर्णांक $a_i$हम चुनते हैं, जिसके परिणामस्वरूप बहुपद में एक गैर-पूर्णांक गुणांक होगा। राक्षसी स्थिति महत्वपूर्ण है, क्योंकि अन्यथा हम गुणा कर सकते हैं$p(x)$ऐसे पूर्णांक के साथ जो सभी गुणांक को पूर्णांक होने की गारंटी देगा। मैंने सामान्य बहुपद के लिए रचना में गुणांक को देखने की कोशिश की है, जो मेरा मानना ​​है कि इस सूत्र का पालन करना चाहिए:

\ start {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ डॉट्स + k_m} {k_0, k_1, \ डॉट्स, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ डॉट्स + k_m} \ छोड़ दिया (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (यहां)$a_i$ तथा $b_i$ के गुणांक हैं $p(x)$ तथा $q(x)$ डिग्री के साथ $n$ तथा $m$, क्रमशः)। हालांकि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि यह साबित करने के लिए किस गुणांक पर ध्यान केंद्रित करना गैर-पूर्णांक संख्या देगा।

इसे हल करने की कोशिश करने पर यह उठी https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, लेकिन यह अपने आप में काफी दिलचस्प लगता है।

Answer 1

वास्तव में, हम इस धारणा को अनदेखा कर सकते हैं कि $q$मौन है। रचना$p \circ q$ सभी पूर्णांक गुणांक नहीं हो सकते हैं।

के लिए $p$ एक गुणांक के कुछ पूरी तरह से सरल भाजक का एक प्रमुख कारक हो $q$। सबसे बड़ा विचार करो$k$ सेंट $p^k$ एक के कुछ हर का एक कारक है $q$गुणांक। फिर बहुपद लिखें$q$ जैसा $x^j w(x) / p^k + s(x)$, जहां के हर पूरी तरह से सरलीकृत अंश $w(x)$ द्वारा विभाज्य नहीं है $p$ और पूरी तरह से सरलीकृत नहीं है $s(x)$ द्वारा विभाज्य है $p^k$, और कहाँ $w$एक गैर-शून्य निरंतर शब्द है। विभाजक के साथ सभी शब्दों को समूहीकृत करके ऐसा करें$p^k$, प्राप्त करना $x^j w(x) / p^k$, और भाज्य के साथ सभी शब्द विभाज्य नहीं हैं $p^k$, प्राप्त करना $x(x)$।

चलो $n$ की डिग्री हो $p$, और के गुणांक पर विचार करें $x^{jn}$ में $p \circ q$। योगदान देने वाले समंदों में से एक होगा$w(0)^n / p^{kn}$, जो पूरी तरह से सरलीकृत है। और किसी भी अन्य सम्मेद के द्वारा विभाज्य नहीं हो सकता है$p^{kn}$। तो यह गुणांक पूर्णांक नहीं है।