क्या सभी सेटों में एक कठोर एंडोमैप होता है?
चलो $X$एक सेट हो। दो एंडोमैप्स$f,f':X\to X$हैं isomorphic अगर वहाँ एक द्विभाजन है$g:X\to X$ ऐसा है कि $f'=g\circ f\circ g^{-1}$। एक आक्षेप$g:X\to X$ संतोषजनक $f=g\circ f\circ g^{-1}$का आटोमोटिव कहा जाता है $f$। की पहचान$X$का तुच्छ स्वप्रतिवाद है$f$। एक एंडोमैप कठोर है अगर यह कोई गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज़्म स्वीकार नहीं करता है।
क्या सभी सेटों में एक कठोर एंडोमैप होता है?
स्पष्ट रूप से, किसी दिए गए सेट का एक कठोर एंडोमैप का अस्तित्व $X$ केवल कार्डिनैलिटी पर निर्भर करता है $|X|$ का $X$।
हम दावा करते है:
अगर $|X|\le2^{\aleph_0}$, तब फिर $X$ एक कठोर एंडोमैप है।
सबूत:
चलो $X$ अधिक से अधिक कार्डिनैलिटी का एक सेट हो $2^{\aleph_0}$, और हमें दिखाते हैं $X$ एक कठोर एंडोमैप है $f$। हम ऐसा मान सकते हैं$X$ गैर-रिक्त है।
अगर $X=\{1,\ldots,n\}$ साथ से $n\ge2$ हमलोग तैयार हैं $f(i)=\max\{1,i-1\}$। अगर$X=\mathbb N$ हमलोग तैयार हैं $f(i)=\max\{0,i-1\}$।
अब मान लीजिए $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$। (हम लिखते हैं$|X|$ की कार्डिनैलिटी के लिए $X$।)
चलो $I$ कठोर एंडोमैप्स के आइसोमॉर्फिज्म वर्गों का समूह हो $\mathbb N$। हम दावा करते है
(1) $|I|=2^{\aleph_0}$।
आइए हम बताते हैं कि (1) इसका तात्पर्य है $X$एक कठोर एंडोमैप है। हम यह मान सकते हैं$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ कहां है $\bigsqcup$ "असतत संघ" का अर्थ है, जहां $J$ एक कार्डिनैलिटी है $|X|$ गैर-आइसोमॉर्फिक कठोर एंडोमैप्स का सेट $\mathbb N$, और कहाँ $X_j=\mathbb N$ सबके लिए $j\in J$। प्रत्येक के लिए$j$ चलो $f_j$ का एक अंत होना $X_j$ प्रकार का $j$। फिर$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (स्पष्ट अंकन) एक कठोर एंडोमैप है $X$।
यह केवल (1) साबित होता है।
चलो $X_0,X_1,\ldots$ की गैर-सममित परिमित उप-जातियाँ बनें $\mathbb N$ ऐसा है कि:
$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$
$\bullet\ X_0=\{0\}$।
के लिये $n\ge1$ चलो $f_n:X_n\to X_{n-1}$ एक ऐसा मानचित्र हो जिसके तंतुओं में अलग-अलग कार्डिनैलिटी हों, आइए $f_0$ का एकमात्र एंडोमैप हो $X_0$, और परिभाषित $f:\mathbb N\to\mathbb N$ द्वारा द्वारा $f(x)=f_n(x)$ अगर $x\in X_n$।
फिर यह देखना आसान है $f$ कठोर है, और हमारे पास इस तरह के एंडोमैप्स के निरंतर-कई समरूपता वर्ग हैं $\mathbb N$।
जवाब
इस सवाल का जवाब YCor ने MathOverlow पर दिया।
मैं एक सामुदायिक विकी उत्तर पोस्ट करना चाहता था जिसमें केवल उपरोक्त वाक्य था, लेकिन सॉफ्टवेयर ने इसे एक टिप्पणी में बदल दिया। वर्तमान वाक्य और YCor के उत्तर के निम्नलिखित अंश को जोड़ने के बाद मैं फिर से कोशिश कर रहा हूँ:
"... वहाँ (के लिए) मौजूद है $X\neq\emptyset$) एक जड़दार वृक्ष की संरचना $X$जिसका स्वप्रवर्तन समूह तुच्छ है। वास्तव में, इस अनुदान, और denoting$v_0$ जड़, एक शीर्ष के लिए $v$ परिभाषित करना $f(v)$ जैसा $v_0$ अगर $v_0=v$, और में अद्वितीय शीर्ष के रूप में $[v_0,v]$ की दूरी 1 से $v$नई तो। फिर$f\in X^X$ और इसके केंद्र में $\mathrm{Sym}(X)$ इसी जड़ वाले पेड़ का ऑटोमोरफिज्म समूह है, जिसे घटाया जाता है $\{\mathrm{id}_X\}$"