क्या वितरण की जाली के संदर्भ में कोई अधिकतम एंटीचैन्स को चिह्नित कर सकता है?
यह हाल के प्रश्न से प्रेरित है जो एक अधिकतम एंटीथिन का सत्यापन है
परिमित पॉज़िट और परिमित वितरण अक्षांशों के बीच प्रसिद्ध द्वंद्व के कई अच्छे सूत्र हैं। उनमें से एक एक पोस को सौंपता है$P$ जाली $\mathscr D\!P$इसके डाउंडिल्स (मुझे पसंद आया यह शब्द, मुझे लगता है, फ्रीड द्वारा)। का दहेज$P$ उपसमुच्चय $D\subseteq P$ संतोषजनक $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$। यह संघ और चौराहे के संचालन के संबंध में एक (बंधे हुए) वितरण जाली है। एक परिमित वितरण जाली के विपरीत$L$ एक पोसैट सौंपता है $\Pi\!L$इसके अपराधों की । एक तत्व$p\in L$ प्रमुख है अगर $x\land y=p$ का तात्पर्य $x=p$ या $y=p$, और विभाजन से आदेश दिए जाते हैं: $p\leqslant q$ आईएफएफ $p$ विभाजित $q$, निरूपित $p|q$ अर्थात $\exists x\ q=p\land x$, या समकक्ष रूप से $p\land q=q$। यह एक अतिसुधार की तरह लगता है कि यह उस आदेश को उलट देता है जो विरासत में मिला है$L$, लेकिन यह सिर्फ सुविधा की बात है: आप हमेशा सभी प्रकार की समान परिभाषाओं पर स्विच कर सकते हैं, जैसे कि ऑर्डर को उलट देना $P$ या में $L$, जॉइन-प्राइम्स द्वारा प्रिम्स को बदलना , या डॉवंडेल्स के कंपार्टमेंट्स को पास करना, जो कि अपीलीय हैं , या दोनों, इत्यादि।
द्वंद्व दो बातें कहता है। पहला, वह हर$L$ अपने primes के तत्वों की जाली के साथ पहचाना जा सकता है, अर्थात एक तत्व $x\in L$ इसके प्रमुख विभाजकों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; दूसरे शब्दों में, हर$x$इसके प्रमुख विभाजकों की बैठक है। इसके अलावा, हर downdeal$D$ का $\Pi\!L$ है $D_x$ एक अद्वितीय के लिए $x\in L$, अर्थात्, के लिए $x=\bigwedge D$।
दूसरा, द्वंद्व कहता है कि हर स्थिति $P$ के अपराधों की स्थिति के साथ पहचाना जा सकता है $\mathscr D\!P$। अर्थात्$p\in P$ के साथ पहचाना जाता है $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ और प्रत्येक प्रधानमंत्री $\mathscr D\!P$ है $\not\uparrow p$ एक अद्वितीय के लिए $p\in P$। अतिरिक्त$p\leqslant q$ आईएफएफ $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$।
अब एक परिमित स्थिति के लिए $P$, इसके डाउंडिल्स एक-से-एक पत्राचार में इसके एंटीकाइन्स के साथ हैं: एक डॉवेंडाइल के लिए $D$ एक एंटीचिन प्रदान करता है $\max\!D$ इसके अधिकतम तत्वों के लिए, और एक एंटीचिन के लिए $\alpha\subseteq P$ downdeal $\downarrow\!\alpha$ नीचे तत्वों की $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$।
मेरा सवाल है: क्या कोई द्वैत रूप से, बीजगणितीय रूप से, इस द्वैत की अपील के बिना, एक परिमित वितरण जाली के उन तत्वों को प्रदर्शित कर सकता है $L$जो अपने दोहरे पोजिट के अधिकतम एंटीचैन्स के अनुरूप है ?
अधिक स्पष्ट रूप से (मुझे आशा है कि इसका अनुवाद करते समय मैंने कोई गलती नहीं की है): क्या शुद्ध रूप से बीजगणितीय लक्षण वर्णन है, उन का उल्लेख किए बिना, $a\in L$ किसी भी प्राइम के लिए संपत्ति के साथ $p\notin D_a$ एक प्राइम है $p'\in\max D_a$ साथ से $p'|p$?
उस प्रेरक प्रश्न के लिए हमें वास्तव में केवल नि: शुल्क परिमित वितरण पट्टिकाओं पर विचार करने की आवश्यकता है , जिसका अर्थ है केवल छंदों पर विचार करना$P$कुछ परिमित सेट के पूर्ण अधिकार हैं, जिन्हें शामिल करने का आदेश दिया गया है। ऐसा लगता नहीं है कि किसी शक्तिसंपर्क में सभी अधिकतम एंटीचाइन्स के सेट की कार्डिनैलिटी के बारे में पता चल गया है। OEIS के अनुसार , इनका क्रम शुरू होता है$1,2,3,7,29,376,31764,...$
अधिकतम आकार के एंटिचाइन्स से आने वाले सभी परिमित पॉसेट्स के वर्ग पर प्रश्न मानचित्र बहुत निकट से संबंधित प्रतीत होता है, लेकिन यह एक सबसे बड़े आकार के एंटीचिन की चिंता करता है, जबकि मेरा सभी मैक्सिमल एंटिचिन्स के बारे में है, अर्थात एंटीचैन्स किसी भी अन्य एंटीचिन में निहित नहीं है। स्पष्ट रूप से इस तरह के एंटिचाइन्स में सामान्य रूप से विभिन्न आकार हो सकते हैं, विशेष रूप से पावरसेट में। उदाहरण के लिए, दोनों दो तत्व एंटीचिन$\{\{1\},\{2\}\}$ और एक तत्व एंटिचिन $\{\{1,2\}\}$ की शक्ति में मैक्सिमम एंटिचाइन्स हैं $\{1,2\}$।
जवाब
यह एक संभावित उत्तर का एक (समुदाय विकि) विवरण है, बजाय उत्तर के ही। हर कोई इसे एक वास्तविक उत्तर में बदलने की कोशिश करने के लिए आमंत्रित किया गया है। या (स्पष्ट रूप से) इसे छोड़ दें और वास्तव में वास्तविक उत्तर लिखें।
रिचर्ड स्टेनली एक टिप्पणी में बताते हैं कि अधिकतम एंटीचिन $A$ का $P$ अधिकतम बूलियन अंतराल के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं $\mathscr D\!P$।
सामान्य तौर पर, दिया गया $D'\subseteq D$ साथ से $D,D'\in\mathscr D\!P$, यह देखना आसान है कि अंतराल $[D',D]$ जाली है $\mathscr D(D\setminus D')$, कहां है $D\setminus D'$ का उप-समूह है $P$प्रेरित आंशिक आदेश के साथ। इसलिए$[D',D]$ बूलियन है अगर और केवल अगर $D\setminus D'$ एक एंटीचिन है।
इसके विपरीत, कोई भी एंटीचिन $A\subseteq P$ इस तरह के बूलियन अंतराल को जन्म देता है $D=\downarrow\!A$ तथा $D'=D\setminus A$। और (स्पष्ट रूप से?) अधिक से अधिक एंटीकाइलाइन अधिकतम बूलियन अंतराल के अनुरूप हैं।
अब एक निर्माण है, जिसे मैंने हेरोल्ड सिमंस द्वारा पहली बार देखा है। एक तत्व के लिए$a$ किसी भी पूर्ण हेयिंग बीजगणित में, चलो $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ फिर $[a,\tau a]$ नीचे के साथ सबसे बड़ा बूलियन अंतराल है $a$।
पूरी तरह से सह-हेयिंग बीजगणित में स्पष्ट रूप से एक परिभाषित परिभाषित ऑपरेटर है $\delta$ ऐसा है कि $[\delta b,b]$ शीर्ष के साथ सबसे बड़ा बूलियन अंतराल है $b$।
उदाहरण। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद सेट की जाली में,$\delta$कैंटर-बेंडिक्सन व्युत्पन्न है। यानी बंद सेट के लिए$C$, $\delta C$ इसकी सीमा बिंदुओं का समूह है।
इसलिए यदि हम पूर्ण द्वि-हेयिंग बीजगणित में हैं, तो दोनों ऑपरेटर उपलब्ध हैं, और एक अंतराल $[a,b]$ अगर और केवल अगर अधिकतम बूलियन है $a=\delta b$ तथा $b=\tau a$।
इसके बाद प्रतीत होता है कि दोनों तत्व $a$ संतोषजनक $\delta\tau a=a$ और तत्व $b$ संतोषजनक $\tau\delta b=b$किसी तरह अधिकतम एंटीचैन्स के अनुरूप होना चाहिए। विशेष रूप से, उस मामले में जब हमारा बीजगणित होता है$\mathscr D\!P$ कुछ स्थिति के लिए $P$, तब फिर $\tau\delta D=D$ के लिये $D\in\mathscr D\!P$ इसका मतलब होना चाहिए $\max D$ अधिकतम एंटीथिन है, जबकि $\delta\tau D=D$ इसका मतलब होना चाहिए $\min(P\setminus D)$ एक अधिकतम एंटीथिन है।