क्या वृक्ष के बिना किसी धारणा का निर्वहन किया जा सकता है?

Question

निम्नलिखित सूत्र को देखते हुए, यह साबित करने के लिए प्राकृतिक कटौती का उपयोग करें।

प्रोफेसर द्वारा दिया गया जवाब नीचे दिया गया था:

मैं यह समझना चाहूंगा कि कैसे हम 3 ब्रैकेट पर धारणा को डिस्चार्ज कर सकते हैं?

Answer 1

क्या वृक्ष के बिना किसी धारणा का निर्वहन किया जा सकता है?

हाँ।

उदाहरण के लिए देखें डर्क वैन दलेन (1997) "लॉजिक एंड स्ट्रक्चर", पी। 34:

परिकल्पनाओं को रद्द करने के संबंध में, हम ध्यान दें कि एक प्रस्ताव के सभी घटनाओं को रद्द करना जरूरी नहीं है$\psi$। यह स्पष्ट रूप से उचित है, क्योंकि किसी को लगता है कि परिकल्पना को जोड़ने से प्रस्ताव को कम नहीं किया जा सकता है (अप्रासंगिक जानकारी हमेशा जोड़ी जा सकती है)। हालांकि, जितना संभव हो, रद्द करना समझदारी की बात है। आवश्यकता से अधिक परिकल्पनाएं क्यों?
इसके अलावा एक आवेदन कर सकते हैं$(\to I)$ अगर वहाँ कोई परिकल्पना रद्द करने के लिए उपलब्ध है जैसे $\dfrac{\phi}{\psi \to \phi}(\to I)$ एक सही व्युत्पत्ति है, बस का उपयोग कर $(\to I)$।
इसे सम्‍मिलित करने के लिए: [...] कुछ (या सभी) घटनाएँ निकालता है, यदि कोई हो [...]।

इसके लिए शब्दार्थ औचित्य एकरसता (कमजोर पड़ने के रूप में भी जाना जाता है): हमारे पास है

अगर $\Gamma \vDash \phi$, तब फिर $\Gamma, \psi \vDash \phi$।

कटौती प्रमेय द्वारा, यह भी इस प्रकार है

अगर $\Gamma \vDash \phi$, तब फिर $\Gamma \vDash \psi \to \phi$।

यदि किसी दिए गए परिसर के निष्कर्ष से कोई निष्कर्ष निकाला जा सकता है, तो यह अतिरिक्त ज्ञान को जोड़कर "खो गया" नहीं है, इसलिए हम हमेशा अधिक परिसर या एंटीकेडेंट्स जोड़ सकते हैं जिनकी वास्तव में आवश्यकता नहीं है। यह शब्दार्थिक विचार व्युत्पत्तियों में स्थानांतरित होता है।

वही अन्य सभी नियमों पर लागू होता है जो मान्यताओं का निर्वहन करने की अनुमति देते हैं, अर्थात $(\lor E)$, $(\neg I)$ तथा $(RAA)$।