क्यों है $i\epsilon$क्लेन-गॉर्डन प्रचारक में -प्रस्तावना आवश्यक है?
पी एंड एस , पी द्वारा पुस्तक में क्लेन-गॉर्डन प्रचारक का मूल्यांकन करते समय । 31, मैं देख रहा हूँ कि, यह डंडे को स्थानांतरित करने और जोड़ने के लिए प्रथागत है$i\epsilon$हर में। मुझे समझ में नहीं आता, यह क्यों आवश्यक है। हम केवल जटिल विश्लेषण का उपयोग क्यों नहीं कर सकते हैं? निम्नलिखित चरणों में क्या गलत है?
\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}
इस तरह से आगे बढ़ने में क्या गलत है? क्या हम सिर्फ एकीकरण नहीं कर सकते$p^0$ के रूप में किया जाता है $z$-सक्षम? जाहिर है,$a$ का कार्य होगा $\vec{p}$ तथा $m$।
जवाब
ध्यान दें कि आप जिस मूल अभिन्न की गणना करने की कोशिश कर रहे हैं, वह वास्तविक रेखा पर है, एक बंद समोच्च के ऊपर नहीं , इसलिए कॉची प्रमेय तब तक लागू नहीं होता है जब तक कि आप समोच्च को बंद करने के लिए एक उपयुक्त तरीका नहीं ढूंढ लेते। घातांक कारक की उपस्थिति के कारण$e^{ibz}$, जैसा कि आपने लिखा है, अगर ऊपरी आधे विमान में समोच्च बंद हो सकता है $\mathrm{Re}\, b>0$। मान लेते हैं कि ऐसा ही है। अब आपके दो ध्रुव वास्तव में वास्तविक रेखा पर हैं, इसलिए हमें यह भी निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि उनके चारों ओर से गुजरने के लिए कौन सा रास्ता है। जब से आप ऊपर समोच्च को बंद कर रहे हैं, और आप दोनों अवशेषों को उठा रहे हैं, तो आप यह अनुमान लगा रहे हैं कि आप इन दो पंक्तियों के नीचे से गुजर रहे हैं। यदि आप उनके ऊपर से गुजरे हैं, तो वे आपके समोच्च के बाहर होंगे और योगदान नहीं देंगे। चूँकि आप अपने दो ध्रुवों के नीचे से गुजर रहे हैं, इसलिए हम यह बता सकते हैं कि आपने यह कह कर क्या किया था कि दोनों ध्रुवों को एक अपरिमेय राशि से जटिल तल पर ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है।$+i\epsilon$। यह गारंटी होगी कि आप उनके नीचे से गुजरते हैं जैसा कि आप वास्तविक अक्ष के साथ एकीकृत करते हैं। इसलिए आप देखते हैं कि आपने वास्तव में कुछ को भी शामिल किया है$\epsilon$आपकी गणना में भी, हालांकि आपने इसे स्वीकार नहीं किया।
क्यूएफटी में गणना के लिए, डंडे के चारों ओर जाने के लिए एक सही शारीरिक नुस्खा है, जिसे फेमैन पर्चे कहा जाता है, और जो आपने ऊपर किया था, उससे अलग है। यह P & S में अच्छी तरह से कवर किया गया है।