लाई अलजेब्रा की आइसोमॉर्फिम्स का उदाहरण

Question

मैं एक आइसोमॉर्फ़ झूठ बीजगणित के उदाहरण के लिए देख रहा हूँ। 2 बीजगणित आइसोमॉर्फ़ हैं, यदि एक जीवनी रेखीय फ़ंक्शन मौजूद है$g_1 \rightarrow g_2$ जो सभी नक्शे $X,Y \in g_1$ पसंद $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$।

तो 2 झूठ बीजगणित मैं के बारे में सोच सकता है में पार उत्पाद होगा ${\rm I\!R}^3$ और एक छोड़ दिया अपरिवर्तनीय वेक्टरफील्ड का कम्यूटेटर बीजगणित लेकिन मैं एक फ़ंक्शन के बारे में नहीं सोच सकता जो उन्हें पहले जैसा कहा गया था।

Answer 1

उदाहरण, मोटे तौर पर आसान से कठिन का आदेश दिया गया:

1. चलो $\mathfrak g$किसी भी अलजेब्रा हो। पहचान मानचित्र$x \mapsto x$ से एक समरूपता है $\mathfrak g$ खुद को।

2. चलो $V$, $W$ एक क्षेत्र में वेक्टर स्थान हो $k$, और उन पर ले कोष्ठक को परिभाषित करें $[v_1, v_2] = 0$ तथा $[w_1,w_2]=0$ सबके लिए $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$। दिखाओ कि झूठ अलजेब्रा$V$ तथा $W$ (इन कोष्ठकों के साथ) समरूप हैं यदि और केवल यदि $V$ तथा $W$एक ही आयाम है। (यह सिर्फ एक जांच होनी चाहिए जिसे आप वेक्टर रिक्त स्थान के समरूपता को समझते हैं, रैखिक बीजगणित का पूर्ण आधार है।)

3. चलो $k$ किसी भी क्षेत्र और $\mathfrak{gl}_n(k)$ सभी द्वारा दिए गए झूठ बीजगणित $n \times n$-अमत पर काबू $k$मैट्रिक्स कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (कहां है $\cdot$सामान्य मैट्रिक्स गुणन है)। चलो$g$कोई भी उलटा हो $n\times n$-मेट्रिक्स ओवर $k$, अर्थात का एक तत्व $\mathrm{GL}_n(k)$। वह नक्शा दिखाओ$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ से एक समरूपता है $\mathfrak{gl}_n(k)$खुद को, यानी की एक ऑटो रूपवाद$\mathfrak{gl}_n(k)$।

4. चलो $\mathfrak{gl}_n(k)$प्रीवियस उदाहरण के रूप में हो। वह नक्शा जो प्रत्येक मैट्रिक्स को उसके नकारात्मक स्थान पर भेजता है,$$ A \mapsto -A^T$$ से एक समरूपता है $\mathfrak{gl}_n(k)$खुद को, यानी की एक ऑटो रूपवाद$\mathfrak{gl}_n(k)$।

5. चलो $k$ किसी भी क्षेत्र में हो, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ एक दो आयामी $k$आधार के साथ -vector अंतरिक्ष $v_1, v_2$ और ले ब्रैकेट $[v_1, v_2] = v_2$। चलो$\mathfrak g_2$ एक और दो आयामी हो $k$आधार के साथ -vector अंतरिक्ष $w_1,w_2$ तथा $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$। लाई अलजेब्रा की एक समरूपता का पता लगाएं$\mathfrak g_1$ तथा $\mathfrak g_2$।

6. चलो $\mathfrak g_1$ तथा $\mathfrak g_2$ पिछले उदाहरण के समान हो, सिवाय इसके कि अब लेट ब्रैकेट पर $\mathfrak g_2$ द्वारा दिया गया है $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ कहां है $c \in k^\times$ तथा $a \in k$। फिर से एक समरूपता खोजें$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$। (इस और पिछले उदाहरण के लिए, cf. 1- 1- और 2- आयामी अल्जेब्रा को वर्गीकृत करते हुए , आइसोमोर्फ़िज्म तक, किसी भी दो नॉनबेलियन आयाम के बीच एक स्पष्ट समरूपता (स्पष्ट रूप से परिभाषित) कैसे प्राप्त करें।$2$, दो आयामी झूठ बीजगणित , दो आयामी झूठ बीजगणित - हम ब्रैकेट को जाने बिना क्या जानते हैं? )

7. चलो $k$ किसी भी क्षेत्र की विशेषता हो $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ जालसाज़ी के झूठ बीजगणित $2 \times 2$-मैट्रिसेस (उदाहरण 3 में दिए गए लेट ब्रैकेट के साथ)। चलो$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (का "विभाजित रूप) $\mathfrak{so}_3$मैट्रिक्स कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ ") भी। इन दो लाई अलजेब्रा के बीच एक समरूपता का पता लगाएं। ( द लाई अलजेब्रा की तुलना करें ।$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ तथा $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, प्रत्यक्ष प्रमाण कि$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, तीन आयामी रूढ़िवादी झूठ बीजगणित और विशेष रैखिक झूठ बीजगणित के बीच एक स्पष्ट समसामयिकता$3$ और उसमें लिंक।)

8. चलो $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (तीन आयामी वास्तविक उप-क्षेत्र $2 \times 2$जटिल matrices); अपने आप को आश्वस्त करें कि फिर से मैट्रिक्स कम्यूटेटर (उदाहरण के लिए 3) द्वारा दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ, यह लाई बीजगणित है। दिखाएँ यह isomorphic को है$\mathbb R^3, \times$क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए लेट ब्रैकेट के साथ त्रि-आयामी वास्तविक लेय बीजगणित। (तुलना क्यों वहाँ का एक कारक है$2$ isomorphism में $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? । ऐसा लगता है कि आपने प्रश्न में क्या किया है।)

9. के बीच एक समरूपता का पता लगाएं $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ और तिरछा-सममिति $4\times 4$ मैच खत्म $\mathbb C$। (सीएफ । चार आयामी ओर्थोगोनल लेट बीजगणित और आयाम के विशेष रैखिक ले एलजेब्रा के प्रत्यक्ष योग के बीच स्पष्ट समरूपता 3. )

10. तिरछा-सममिति के प्रत्यक्ष योग के बीच एक समरूपता का पता लगाएं $3 \times 3$ खुद के साथ वास्तविक matrices, और$4 \times 4$वास्तविक तिरछा-सममित मैट्रिक। (Cf. आइसोमॉर्फिज्म के बीच$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ तथा $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

11. के लिये $\mathfrak g$एक वास्तविक झूठ बीजगणित, अदिश विस्तार / जटिलता $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ एक जटिल लेट बीजगणित है जिसमें लेटिन ब्रैकेट के साथ बिलिनियर एक्सटेंशन दिया गया है $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$। आसान: दिखाओ कि का जटिलकरण$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ isomorphic है $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$। कठिन: के लिए$\mathfrak{su}_2$ जैसा कि उदाहरण 8 में परिभाषित किया गया है, यह दर्शाता है कि जटिलता $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ isomorphic भी है $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$। बोनस: दिखाओ कि इसके बावजूद, वास्तविक झूठ बीजगणित$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ तथा $\mathfrak{su}_2$एक दूसरे के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हैं । ( जटिलता के बीच सटीक संबंध की तुलना करें$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ तथा $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, झूठ बीजगणित जटिलताएँ हैं$\mathfrak g_{\mathbb C}$ पर समान बीजगणित संरचनाओं के बराबर $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? , और शायद कई और अधिक।)

इसके अलावा, लाई बीजगणित के आइसोमॉर्फिज्म को खोजने का प्रयास करें ।