लाइन इंटीग्रल के लिए इंटीग्रल साइन के तहत विभेदन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करना

Question

क्या कोई संदर्भ है जो कॉची के अभिन्न सूत्रों को सिद्ध करने के लिए लाइन इंटीग्रल के तहत विभेद करने की वैधता को साबित करता है

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

आप फोलैंड के वास्तविक विश्लेषण पाठ से प्रमेय 2.27 का उपयोग कर सकते हैं। जटिल संख्या के लिए उस प्रमेय का एक सरलीकृत संस्करण यह कहेगा कि यदि$C,D$ कॉम्पैक्ट हैं, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ सभी के लिए विश्लेषणात्मक है $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ दोनों तर्कों में निरंतर है, फिर सभी के लिए $w\in D$ यह इस प्रकार है कि $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

अनिवार्य रूप से यह काम क्यों है क्योंकि $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$उपरोक्त कार्यों की गारंटी के लिए फोलैंड ने डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेय का उपयोग किया है। हमारे मामले में के रूप में$C\times D$ टाइकोनॉफ़ के प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट है, और $\partial h/\partial w (z,w)$ निरंतर है $C\times D$, फिर $|\partial h/\partial w (z,w)|$ एक निरंतरता से ऊपर बंधे हुए हैं, कहते हैं $M$। जबसे$C$ परिमित माप (कॉम्पैक्ट) है जो इसका अनुसरण करता है $M\in L^1(C)$ इसलिए हम अभिन्न संकेत के तहत विभेदित औचित्य साबित करने के लिए डोमिनेटेड कनवर्जेन्स का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

आपके मामले में, $C$एक सर्कल है, जो कॉम्पैक्ट है। अब के लिए$f(u)/(u-w)$, आप कह सकते हैं कि यह एक कॉम्पैक्ट सेट पर परिभाषित नहीं है, लेकिन अगर हम इसके मूल्यों को सीमित करते हैं $w$ एक छोटे से बंद डिस्क और के मूल्यों के लिए $u$ सर्कल के लिए, फिर हमारा फ़ंक्शन फॉर्म के एक डोमेन पर परिभाषित किया गया है $C\times D$ कहाँ पे $C,D$ कॉम्पैक्ट हैं।

Answer 2

आप यहाँ एक सावधान प्रमाण पा सकते हैं

यहां एक और तरीका है: बिजली श्रृंखला के बारे में सरल तथ्यों का उपयोग करना, हमारे पास एक पूर्णांक को ठीक करना है $n,$ और लेखन $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ के भीतर $C,$ हमारे पास है

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

यह इस प्रकार है कि $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ परंतु $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ परिणाम इस प्रकार है।