लगातार भिन्न होने की सही परिभाषा क्या है?
मान लीजिए $V$ तथा $W$ Banach रिक्त स्थान हैं, $U\subset V$ खुला है, और $F:U\to W$एक अलग समारोह है। फिर व्युत्पन्न$F$ नक्शा है $$ DF:U\to B(V;W) $$ कहाँ पे $B(V;W)$ निरंतर रेखीय मानचित्रों का बैनक स्थान है $V\to W$।
हम कहते हैं कि $F$है वर्ग के $\mathcal{C}^1$ एक बिंदु पर $x_0\in U$ यदि मानचित्रण $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ निरंतर है $x_0$; हम कहते हैं कि$F$है वर्ग के $\mathcal{C}^1$ पर $U$ अगर $F$ वर्ग का है $\mathcal{C}^1$ प्रत्येक बिंदु पर $U$।
अगर $X$ Banach स्थान का एक मनमाना उपसमुच्चय है $V$ तथा $f:X\to W$ एक नक्शा है, तो हम कहते हैं कि $f$है वर्ग के $\mathcal{C}^1$ पर $X$ अगर वहाँ एक खुला सबसेट मौजूद है $U$ का $V$ कहाँ पे $X\subset U$ और एक समारोह $F:U\to W$ कक्षा के $\mathcal{C}^1$ पर $U$ कहाँ पे $F|_X=f$। (अनौपचारिक रूप से, हम विस्तार कर सकते हैं$f$ एक खुले सेट पर, जिस पर वह कक्षा का है $\mathcal{C}^1$।)
किसी फ़ंक्शन के लिए यह उत्तर देखें$f$जो केवल एक ही बिंदु पर लगातार भिन्न होता है। अर्थात्, यदि$g(t)=t^2\sin(1/t)$ के लिये $t\in\mathbb{R}$ फिर समारोह $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ पर लगातार भिन्न होता है $t=0$। तथापि,$f$ मनमाने ढंग से मूल के करीब है इसलिए $f$ वर्ग का नहीं हो सकता $\mathcal{C}^1$ किसी भी खुले सेट से युक्त $0$।
अर्थात्, $f$ एक समारोह है जो वर्ग का है $\mathcal{C}^1$ पर $0$, परंतु $f$ नहीं है $\mathcal{C}^1$ पर $\{0\}$।
यह मुझे सही नहीं लगता। बेशक, यह "विशिष्ट" नहीं है एक फ़ंक्शन के लिए हम इस तरह से व्यवहार करने के लिए मुठभेड़ करते हैं। हालाँकि, यह उदाहरण अभी भी मुझे परेशान करता है। हम क्या कर सकते है? क्या हम उपरोक्त परिभाषाओं को थोड़ा संशोधित कर सकते हैं ताकि ऐसा न हो? क्या इसका उत्तर मैंने किसी तरह गलत दिया है? (मैं उनके द्वारा बताए गए परिणामों को साबित नहीं कर सका ...)
जवाब
जिस तरह से मैं इसे जानता हूं, एक फ़ंक्शन है $\mathcal C^1$ एक सेट पर $X\subseteq V$ अगर यह होता है $\mathcal C^1$ के आंतरिक भाग पर $X$ तथा $\mathrm Df$ लगातार बढ़ाया जा सकता है $X$। इस परिभाषा के साथ, आपका उदाहरण कार्य होगा$\mathcal C^1$ पर $\{0\}$, क्योंकि इस सेट का इंटीरियर खाली है, और कोई भी समारोह खाली है $\mathcal C^1$खाली सेट पर। लेकिन यह परिभाषा वास्तव में केवल गैर-रिक्त इंटीरियर वाले सेटों पर दिलचस्प है । सेट पर इस परिभाषा का व्यवहार जो पूरा नहीं करता है$X=\overline{X^\circ}$, पसंद $\{0\}$, बस एक मजेदार कला है। इसके अलावा, यह उन कार्यों में परिणाम देता है जो हैं$\mathcal C^1$ पर $\{0\}$, लेकिन नहीं $\mathcal C^1$ में $0$, इसलिए आपके द्वारा उल्लिखित विपरीत दुविधा।
इन कारणों के लिए, आमतौर पर अपने आप को खुले सेटों या खुले सेटों के बंद होने तक सीमित रखना सबसे अच्छा है और चिंता न करें $\mathcal C^1$सिंगलटन सेट पर यह वैसे भी किसी भी बड़े अंतर्दृष्टि उपज नहीं होगा। तब एक परिभाषा इस प्रकार पढ़ेगी:
लश्कर $U\subseteq V$खुल के बोलो। फिर$\mathcal C^1(U,W)$ सभी लगातार भिन्न कार्यों का सेट है $U\to W$, तथा $\mathcal C^1(\overline U,W)$ सभी सतत कार्यों का समूह है $f:\overline U\to W$ जिसके लिए $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ ऐसा है कि $\mathrm D(f\vert_U)$ लगातार बढ़ाया जा सकता है $\overline U$।