लश्कर $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$। दिखाएँ कि बंटवारे का क्षेत्र $f$ ऊपर $\mathbb{Q}$ डिग्री 1, 2, 3 या 6 ओवर की है $\mathbb{Q}$।

Question

प्रश्न: दो$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$। दिखाएँ कि बंटवारे का क्षेत्र$f$ ऊपर $\mathbb{Q}$ डिग्री 1, 2, 3 या 6 ओवर की है $\mathbb{Q}$।

प्रोफेसर ने हमें यह संकेत दिया, लेकिन मैं अभी भी नहीं समझ पा रहा हूं। मुझे इसे चरणबद्ध तरीके से हल करने की आवश्यकता है। उसकी युक्तियों का उपयोग करना।

सुझाव: सबसे बड़ी कठिनाई यह दर्शाना होगा कि यह ६ से अधिक नहीं हो सकती। फिर, कुछ मानों को चुनने के लिए पर्याप्त है$a, b$ तथा $c$। गैलोज के उस हिस्से पर खोजने की कोशिश करें कि विस्तार की डिग्री है$\leq n!$। आपको उस तरह से बहुपदों को खोजने की जरूरत है, जिसमें डिग्री के अलग-अलग क्षेत्र हों$1, 2, 3$ तथा $6$। और फिर दिखाते हैं कि यह उससे बड़ा नहीं हो सकता। यह 6 से अधिक नहीं हो सकता क्योंकि यह सबसे खराब स्थिति में होता है ... इसकी एक वास्तविक जड़ होती है जिसमें एक डिग्री होती है$\leq3$ (यह हमेशा मौजूद रहता है क्योंकि बहुपद में एक विषम डिग्री होती है, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय का उपयोग करके) और एक जटिल एक (जो वास्तविक भी हो सकती है) $\leq 2$। फिर विस्तार की डिग्री$\leq 6$। हम मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय का उपयोग करते हैं क्योंकि विषम डिग्री के बहुपद एक वास्तविक जड़ है।

अगर आप मेरी मदद करने के लिए समय लेंगे तो मैं वास्तव में आपकी मदद की सराहना करता हूं।

Answer 1

हम गैलोज़ सिद्धांत के एक मौलिक प्रमेय का उपयोग करते हैं, कि गैलोज़ विस्तार की डिग्री उस विस्तार के गैलोज़ समूह के आदेश के बराबर होती है। ध्यान दें कि क्षेत्र में गुणांक के साथ एक बहुपद की जड़ों को जोड़कर प्राप्त एक्सटेंशन स्वचालित रूप से गैलोज़ एक्सटेंशन हैं।

तर्क है कि कब से है $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ एक क्यूबिक है, इसका गैलोज़ समूह (यानी बंटवारे के क्षेत्र का गैलोज़ समूह) एक उपसमूह होगा $S_3$ जिसके पास आदेश है $6$।

अधिक स्पष्ट रूप से, चलो $x_1, x_2, x_3$ की (जटिल) जड़ें बनें $f$। फिर निश्चित रूप से$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$एक बंटवारा क्षेत्र है। गाल्वा समूह$G$ उन ऑटोमोर्फिम्स का सेट है $K$ वह ठीक करें $\mathbb{Q}$, और इसलिए यह निर्धारित किया जाता है कि वे जड़ों पर कैसे कार्य करते हैं। हालांकि, चूंकि कोई भी स्वचालितता ठीक हो जाती है$f$, किसी भी स्वप्रतिरक्षावाद के तहत एक जड़ की छवि अभी भी एक जड़ है, इसलिए $G$ जड़ों को अनुमति देता है और इसलिए $G$ का उपसमूह है $S_3$।

अब दूसरा भाग वास्तव में बहुरूपियों को ढूंढ रहा है जिनके पास गाल्वा समूह हैं $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ तथा $S_3$।

$1$ काफी आसान है: जैसे कि तीन रैखिक बहुपद का उत्पाद लें $(x-1)(x-2)(x-3)$।

के लिये $C_2$, आपको उदाहरण के लिए, गैर-तर्कसंगत जड़ों के साथ एक द्विघात बहुपद की आवश्यकता है $(x-1)(x^2+1)$।

के लिये $S_3$, आप इस विचार को दोहरा सकते हैं $C_2$ लेकिन इस बार रेखीय भाग को एक गैर-तर्कसंगत रूट दे रहा है, जैसे $x^3 -2$।

के साथ एक बहुपद प्राप्त करना $C_3$ शायद सबसे कठिन एक है, लेकिन "विवेकशील" नामक एक वस्तु पर कुछ परीक्षण और त्रुटि या कुछ अतिरिक्त अंतर्दृष्टि के साथ $x^3 -3x+1$ एक उदाहरण है।

Answer 2

लश्कर $L$ का बंटवारा क्षेत्र हो $f$ ऊपर $\mathbb{Q}$। जबसे$\mathbb{Q}$विशेषता शून्य है, विस्तार अलग है, और यह एक विभाजन क्षेत्र है इसलिए यह सामान्य है। इसलिये$L/\mathbb{Q}$ एक गैलोज एक्सटेंशन है।

हम जानते हैं कि गाल्वा समूह $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ की जड़ों पर विश्वासपूर्वक कार्य करता है $f$ में $L$। ऐसी तीन जड़ें हैं$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ ऐसा बोलो $G$ के क्रमपरिवर्तन के समूह के रूप में देखा जा सकता है $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, जो इसे सममित समूह का उपसमूह बनाता है $S_3$। जबसे$S_3$ आदेश दिया है $6$, यह निम्नानुसार है $G$ विभाजित $6$, इसलिए यह $1,2,3$ या $6$।

यह गाल्वा सिद्धांत का एक मानक परिणाम है कि एक गाल्वा विस्तार की डिग्री अपने गाल्वा समूह के आदेश के बराबर होती है, इसलिए $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ है $1, 2, 3$ या $6$।

अंत में, पिकेटो की टिप्पणी से पता चलता है कि इनमें से प्रत्येक संभावना वास्तव में होती है।