मूल्य क्या है जो आत्मविश्वास की न्यूनतम लंबाई अंतराल बनाता है?
एक यादृच्छिक चर $X$ इस प्रकार $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$
मैं एक विश्वास अंतराल के बारे में सोचता हूं $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$।
जब मैंने आत्मविश्वास का स्तर निर्धारित किया $1-\alpha$, के मूल्य क्या हैं $b$ तथा $c$ जो विश्वास अंतराल की न्यूनतम लंबाई बनाता है $d=b+c$?
जो मैंने पाया है
इससे पहले के प्रश्न की संभावना के बारे में पूछा $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$
और मुझे आसानी से जवाब मिल गया $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$
मुझे लगता है कि अगर मुझे आत्मविश्वास के अंतराल की आवश्यकता है $/theta$, मुझे सेट करने की आवश्यकता है $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ लेकिन मैं पीडीएफ नहीं जानता $\theta$। यहीं पर मैं फंस गया।
क्या कोई मेरी मदद कर सकता है?
जवाब
चूँकि आपके द्वारा प्रदत्त पीडीएफ θ के तहत एक्स का एक सशर्त पीडीएफ है, इसलिए दिए गए θ के तहत एक्स के आत्मविश्वास अंतराल (सीआई) को प्राप्त करना संभव है, लेकिन CI का सीआई नहीं।
इसके विपरीत, यदि f (arily | x) का pdf एक ही अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है, तो of का सबसे छोटा CI S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (अल्फ़ा)] के रूप में लिया जा सकता है।
आपके संभाव्यता परिणाम में एक गलती है (जो इस तथ्य से स्पष्ट होना चाहिए कि यह अनबाउंड है)। अंतराल का उपयोग करना$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ आपके पास कवरेज संभावना होनी चाहिए:
$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$
(देखें कि आपके परिणाम के विपरीत, यह तब आता है जब एक $b \rightarrow \infty$ या $c \rightarrow \infty$।) इस प्रकार, इस फॉर्म के इष्टतम आत्मविश्वास अंतराल को खोजने के लिए आपको निम्नलिखित अनुकूलन समस्या को हल करना होगा:
$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$
थोड़ा काम के साथ, आपके लिए यह दिखाना संभव होना चाहिए कि ऑप्टिमा कब होता है $b=c$, ताकि ऑप्टिक कॉन्फिडेंस इंटरवल मिडपॉइंट पर एक हो $x$। यह अनिश्चित है, यह देखते हुए कि लाप्लास वितरण माध्य पैरामीटर के आसपास सममित है$\theta$।