पहले एन शब्दों की एक अंकगणितीय अनुक्रम की राशि के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति की व्याख्या
मैं पहले के अंकगणितीय अनुक्रम के योग के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति को समझने की कोशिश कर रहा हूं $n$ शर्तों।
मुझे समझ में नहीं आता है कि सामान्य अंतर को खत्म करने के लिए नियम या तर्क दो क्रमों को उल्टे क्रम में जोड़ने की अनुमति देते हैं $d$ और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि पहले के अंकगणितीय अनुक्रम का योग $n$ शर्तें एक आधी है $n$पहली और अंतिम शर्तों का योग। यह कुछ अस्पष्टीकृत ज्ञान के आधार पर विस्तारित से सामान्य अंतर को समाप्त करने के लिए एक आकस्मिक तरीका प्रतीत होता है$d$ और सामान्य रूप से अंकगणितीय क्रम।
मैंने गणित की पाठ्यपुस्तकों और ऑनलाइन में इस प्रश्न पर शोध किया है और हर बार जब व्युत्पत्ति प्रस्तुत की जाती है, तो मुझे यह स्पष्टीकरण नहीं मिल सकता है कि यह एक गणितज्ञ के लिए क्यों स्पष्ट होगा कि अनुक्रमों को जोड़कर वे सूत्र को प्राप्त करेंगे।
पृष्ठ - भूमि।
कई पाठ्य पुस्तकों और ऑनलाइन साइटों में बताए गए सूत्र की व्युत्पत्ति इस प्रकार है।
- पहली बार अंकगणितीय अनुक्रम का योग ज्ञात करना $n$ मामले $S_n$, हम पहले शब्द के संबंध में राशि लिख सकते हैं $a_1$ और आम अंतर $d$।
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$
- अंतिम अवधि के संबंध में अनुक्रम को रिवर्स ऑर्डर में लिखना भी संभव है $a_n$।
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$
- जब हम इन अनुक्रमों को एक साथ जोड़ते हैं तो हम अंकगणित अनुक्रम के पहले n शब्दों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।
$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$
- क्योंकि वहाँ हैं $n$ के कई अतिरिक्त $(a_1 + a_n)$ लंबा योग सरल है $n(a_1 + a_n)$ और के लिए हल कर रहा है $S_n$ हम सूत्र पर पहुंचते हैं।
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
दुर्भाग्य से मैं इनमें से किसी भी स्पष्टीकरण में तर्क नहीं खोज सकता कि दो अनुक्रम (साधारण क्रम और रिवर्स) क्यों जोड़े गए। यह मेरे लिए समझ में आता है कि उन्हें जोड़ा गया था, लेकिन ऐसा नहीं था क्योंकि सूत्र को प्राप्त करते समय यह अगला तार्किक कदम था।
प्रश्न।
सूत्र प्राप्त करने के लिए दो अनुक्रम क्यों जोड़े गए और अंकगणितीय अनुक्रमों की प्रकृति के बारे में क्या पता चलता है?
यह जानने की मेरी कोशिश में मैंने ध्यान दिया कि कई अनुक्रमों का अध्ययन करके हम देख सकते हैं कि पहली बार अनुक्रम के योग का अनुपात $n$ मामले $S_n$ और पहले और अंतिम शब्दों का योग $(a_1 + a_n)$ हमेशा है $\frac{n}{2}$किसी भी अंकगणितीय अनुक्रम के लिए। इसलिए संभवतः इसे प्रेरण द्वारा कहा जा सकता है कि यदि किसी अंकगणितीय अनुक्रम के लिए यह सच है:
$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$
तब यह भी सच होना चाहिए कि:
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
हालांकि, मेरे लिए यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि व्युत्पत्ति दो अनुक्रमों को जोड़ने का फैसला क्यों करती है।
जवाब
इसके अलावा की संप्रेषणीयता आपको दो व्यसनों के योग की अनुमति देती है। परिशिष्टों की संख्या पर शामिल करके आप इसे किसी भी परिशिष्ट संख्या में जोड़ सकते हैं। इसके बाद एसोसिएटिविटी आपको उन्हें समूहित करने देती है जो आप चाहते हैं।
त्रिकोण संख्याओं के योग पर विचार करें। पहले n संख्याओं को जोड़ने के लिए, आप पहले और अंतिम को लेते हैं और उन्हें n + 1 प्राप्त करने के लिए संयोजित करते हैं, फिर आप n + 1 प्राप्त करने के लिए दूसरे और दूसरे से अंतिम के लिए भी ऐसा ही करते हैं। इस प्रक्रिया के एक दृश्य के लिए, देखेंhttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number। यहाँ आपके प्रश्न में, आपका त्रिकोण थोड़ा ढीला है और एक बिंदु पर नहीं आता है, लेकिन विचार एक ही रहता है :)।