फैक्टरिंग के साथ समस्या $x^4-x^3+x^2-x+1$
मैं आंशिक अंश का उपयोग करते हुए निम्नलिखित अभिन्न गणना करना चाहता हूं: $$\int{1\over x^5+1}dx$$इसलिए मैं भाजक को विघटित करता हूं:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
अगले चरण के लिए मैंने इंटरनेट पर खोज की और पाया कि मुझे विघटित होना चाहिए$x^4-x^3+x^2-x+1$ इस तरह:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
और तब $a,b$ आसानी से पाया जा सकता है।
मेरा सवाल यह है कि गुणांक क्यों है $x^2,x^0$ कर रहे हैं $1$?
क्योंकि मैं फिर से लिख सकता हूं:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
और केवल एक चीज जो मैं पहली नज़र में देख सकता हूं वह है $ad=1,cf=1$ और मुझे कोई सुराग नहीं है कि क्यों $a=d=c=f=1$
आप नीचे उसका जवाब देख सकते हैं:
जवाब
सामान्य तौर पर, दो बहुपदों को एक स्थिरांक के गुणन तक दिया जाता है (आप एक के बाद एक गुणा कर सकते हैं $k$ और अन्य द्वारा $1/k$), तो आप इसे इस तरह से व्यवस्थित कर सकते हैं $a=d=1$यह गारंटीशुदा है। उदाहरण के लिए$x^2+4x+4$ के रूप में फैक्टर किया जा सकता है $(x+2)(x+2)$ लेकिन भी $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$। तो हम उत्तर को अनूठा बनाने के लिए गुणांक में से एक को ठीक करने के लिए स्वतंत्र हैं। हालाँकि, यदि आप ऐसा करते हैं, तो आपके पास दूसरों के लिए विकल्प नहीं है, इसलिए यहाँ एक सही शुरुआत कुछ इस तरह है$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
सुनिश्चित करें कि आप निरंतर गुणांक के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करने के लिए आगे कुछ गणना कर सकते हैं, लेकिन इससे पहले नहीं।
इसके अलावा थोड़ा संशोधित उदाहरण से पता चलता है कि अग्रणी और निरंतर गुणांक दोनों को माना जाता है $1$ शुरू से गलत है:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
हालांकि, जैसा कि जुड़े हुए अन्य प्रश्न में बताया गया है, इस मामले में शायद इसका इस्तेमाल किया गया था (लेकिन समझाया नहीं गया) कि बहुपद palindromic (आत्म-पारस्परिक) है, जिसका अर्थ है कि इसकी जड़ें जोड़े में आती हैं $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (इसका एक परिणाम है $x^4f(1/x)=f(x)$)। इससे आप एक रूप में कारकों की अपेक्षा कर सकते हैं$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ या अधिक सामान्य $x^2-ax+1$।
मान लीजिए कि आपके पास एक मोनिक (जैसे 1 का अग्रणी गुणांक) 4 डिग्री डिग्री बहुपद है $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ कि तुम दो 2 डिग्री बहुपद में कारक:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
फिर, आप पहले बहुपद के प्रत्येक गुणांक को विभाजित कर सकते हैं $e$ और दूसरे बहुपद के प्रत्येक गुणांक को गुणा करें $e$। यह उत्पादन करता है:$(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
हालाँकि, चूंकि इन दोनों बहुपदों का उत्पाद है
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
तब$h \times e$ चाहिए = 1. $
इसलिए, 4 डी डिग्री मोनोनिक बहुपद को दो 2 डिग्री मोनोनिक बहुपद में विभाजित किया गया है। जैसा कि अन्य ने बताया है, इस तथ्य के तहत, सिर्फ इसलिए कि 4 डिग्री बहुपद में $ x ^ 0 $ गुणांक 1 है इसका मतलब यह नहीं है कि दो द्वितीय डिग्री बहुपद में $ x ^ 0 $ गुणांक प्रत्येक को एक होना है। आप यह सुनिश्चित करने के लिए कह सकते हैं कि दो 2 डिग्री बहुपद में दो $ x ^ 0 $ गुणांक का उत्पाद = 1 होना चाहिए।
अगर मैं सही ढंग से समझ, यह सिर्फ इतना हुआ है कि जब monic 4 डिग्री मूल प्रश्न में दिए गए बहुपद कि विशेष रूप से 4 डिग्री गुणांक के लिए, दो monic 2 डिग्री गुणांक में शामिल होती है, जिसके परिणामस्वरूप monic 2 डिग्री बहुआयामी पद के लिए हो उनके $ x ^ 0 $ प्रत्येक = 1 गुणांक।
ओपी के मूल 4 डिग्री बहुपद पर केंद्रित परिशिष्ट
सबसे पहले, 4 डिग्री डिग्री बहुपद पर विचार करें जो
$ (x ^ 2 + x + 5) \ गुना (x ^ 2 + x + [1/5]) के बराबर है। $
यह एक सरल प्रति-उदाहरण है जिसके उत्पाद का रूप होगा। $ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
खैर संपादित करें , यह शर्मनाक है:
मुझे बस एहसास हुआ कि ऊपर मेरा प्रति-उदाहरण त्रुटिपूर्ण है । यही है, जब $ (x ^ 2 + x + 5) \ गुना (x ^ 2 + x + [1/5]) $ को एक मोनिक 4 डिग्री बहुपद में संयोजित किया जाता है, तो इस 4 डिग्री की फैक्टरिंग के वैकल्पिक तरीके हो सकते हैं। बहुपद जो उस पैटर्न को फिट करता है जो मूल रूप से ओपी को सुझाया गया था।
वैसे भी, इस परिशिष्ट का शेष बाधाओं को बहुत समान तरीके से देखता है https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients लिंक है कि किसी ने पहले से ही टिप्पणी की है।
इस विश्लेषण के सभी का सवाल है कि जाहिरा तौर पर
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ में
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ टाइम्स (x ^ 2 - bx + 1) $
मुझे लगता है कि वास्तव में क्या हो रहा है कि यह अनुमान लगाया गया है कि $ f (x) $ को इतना फैक्टर किया जा सकता है।
नतीजतन, छात्र को अनुमान का पता लगाने के लिए कहा जा रहा है , और देखें कि क्या यह सच है। $ एक $ और $ b $ पर निम्नलिखित बाधाओं की ओर जाता है :
(1) पुनः $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a a टाइम्स b) = 1. $
(3) पुनः $ x ^ 1: a + b = 1. $
ध्यान दें कि आपके पास दो चर $ और $ b $ पर तीन अड़चनें हैं
हालाँकि, जब से बाधाएं (1) और (3) समान होती हैं, आप केवल दो बाधाओं के साथ समाप्त होते हैं।
यहां तक कि अगर दोनों बाधाओं (1) और (2) रैखिक थे, तो यह अभी भी (सामान्य रूप से) एक समाधान की गारंटी नहीं देता है [जैसे r + s = 6. 2r + 2s = 11]।
वर्तमान मामले में, बाधा (2) गैर-रैखिक है, जो इसे और भी अधिक iffy बनाती है। नोट: मैं यहां पतली बर्फ पर हूं, मैंने कभी भी 1 गैर-रैखिक बाधा के साथ 1 रैखिक बाधा के संयोजन के प्रभाव का अध्ययन नहीं किया है।
हालांकि , जैसा कि इरादा है, संभवतः $ $ और $ b $ के संतोषजनक मूल्यों की खोज की जा सकती है। पर एक नज़र ले रहा है $ f (x), $ सूचना है कि बाधा (3) बाधा (1) के समान है ठीक में क्योंकि $ f (x) $ $ x ^ 3 $ और $ x ^ 1 $ गुणांक समान हैं।
इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि सुझाए गए अनुमान अच्छी तरह से प्रेरित थे।