पी-एडिक बीजीय संख्या क्या हैं?

Question

"दिया हुआ $p$, के तत्व क्या हैं $\mathbb{Q}_p$ बीजगणित पर $\mathbb{Q}$? "

मैं समय-समय पर इस पर आश्चर्य करता हूं और इस गणित के सवाल पर आता हूं जो एक ही बात पूछ रहा है। चुना हुआ उत्तर उस प्रश्न का उत्तर नहीं देता है (जिसे मैं देख सकता हूं), और गुगली "पी-एडिक बीजीय संख्या" उस प्रश्न को शीर्ष परिणाम के रूप में देता है। उस बिंदु पर मैं हार मानता हूं और तब तक इंतजार करता हूं जब तक मैं भूल नहीं जाता और फिर से कोशिश करता हूं। तो इस बार मैं पूछता हूँ:

क्या आप (अधिक सुविधाजनक) के लक्षण वर्णन के बारे में जानते हैं $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ या "के लिए संदर्भ हैं$p$-आदिक बीजीय संख्या? "

मुझे यकीन नहीं है कि "वास्तविक बीजगणितीय संख्या" की तुलना में "वास्तविक बीजीय संख्या" की तुलना में अधिक संतोषजनक है, लेकिन पी-एडिक निरपेक्ष मूल्य वास्तविक निरपेक्ष मूल्य की तुलना में अधिक "बीजगणितीय" है, और इसके रूप में मतभेद हैं। $p$ बदलता है, तो वे क्या हैं?

Answer 1

लश्कर $O_\overline{\Bbb{Q}}$ बीजगणितीय पूर्णांक हो, कुछ अधिकतम आदर्श ले $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ युक्त $p$, चलो $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, तब फिर $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ तथा $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ (isomorphic) का उपक्षेत्र है $\overline{\Bbb{Q}}$ द्वारा तय किया गया $G$।

बराबर, चलो $S$ (अनंत डिग्री) बीजीय एक्सटेंशन का सेट हो $K/\Bbb{Q}$ जिसके लिए कुछ अधिकतम आदर्श $\mathfrak{p}\subset O_K$ इस प्रकार कि $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$। फिर$\Bbb{Z}_p$ का (isomorphic) का पूरा होना $O_K$ पर $\mathfrak{p}$, तथा $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ (किसी भी अधिकतम तत्व के लिए isomorphic) है $S$।