प्लैटोनिक ठोस पदार्थों के कठोर गतियों के समूह का क्रम कैसे पता करें $\mathbb{R}^3$?
निम्नलिखित दुमिट और फूटे बीजगणित (अनुभाग) में अभ्यास के रूप में दिखाई देते हैं $1.2$ - डायहड्राल समूह):
- चलो $G$ में कठोर गतियों का समूह हो $\mathbb{R}^3$एक टेट्राहेड्रोन का। वो दिखाओ$|G| = 12$
- चलो $G$ में कठोर गतियों का समूह हो $\mathbb{R}^3$एक घन का। वो दिखाओ$|G| = 24$
- चलो $G$ में कठोर गतियों का समूह हो $\mathbb{R}^3$ऑक्टाहेड्रोन का। वो दिखाओ$|G| = 24$
- चलो $G$ में कठोर गतियों का समूह हो $\mathbb{R}^3$dodecahedron का। वो दिखाओ$|G| = 60$
- चलो $G$ में कठोर गतियों का समूह हो $\mathbb{R}^3$a icosahedron का। वो दिखाओ$|G| = 60$
से इस उत्तर मैं लगा कि कठोर गतियों, अभिविन्यास के संरक्षण isometries हैं यानी प्रतिबिंब अनुमति नहीं है।
तो, एक टेट्राहेड्रॉन के लिए, मैंने समरूपता के अक्षों को एक शिखर से गुजरने और विपरीत चेहरे के केंद्रक के बारे में सोचा। ऐसे चार अक्ष हैं (चलो उन्हें कॉल करें)$A,B,C,D$) है। हर धुरी के साथ, हम परिभाषित कर सकते हैं$1_i, r_i, r_i^2$ के रूप में तीन रोटेशन के साथ $r_i^3= 1$पहचान तत्व ($i=A,B,C,D$) है। चूँकि चार ऐसी कुल्हाड़ियाँ हैं,$|G| = 3\times 4 = 12$। यह ठीक है, या मैं कुछ याद कर रहा हूँ? मैं इस तथ्य को लेकर थोड़ा चिंतित हूं कि$1_A,1_B,1_C,1_D$ सभी संभवतः समान हो सकते हैं (क्योंकि वे पहचान परिवर्तन हैं), और यह कि मैं अति-गिनती हूं?
मामूली सवाल (चक्कर): क्या अलग-अलग अक्षों के अनुरूप पहचान परिवर्तन हैं, या समान हैं?
क्यूब के लिए, मैंने निम्न कार्य किया:
- विपरीत चेहरों की हर जोड़ी के लिए, हमारे पास समरूपता का एक अक्ष है। वहां$3$ ऐसे जोड़े, इसलिए $3$ ऐसी कुल्हाड़ियों (कहते हैं $A,B,C,D$) है। प्रत्येक अक्ष के बारे में हम परिभाषित करते हैं$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ साथ से $r_i^4 = 1$ कहां है $i=A,B,C,D$।
- चार शरीर विकर्ण हैं (कहते हैं $E,F,G,H$), और प्रत्येक विकर्ण (समरूपता अक्ष) के बारे में हम परिभाषित करते हैं $1,r_j,r_j^2$ साथ से $r_j^3= 1$ कहां है $j=E,F,G,H$।
उपरोक्त गणना के मद्देनजर, हमारे पास है $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$।
इस विधि का उपयोग करना कठिन हो जाता है , बड़े ठोस पदार्थों के लिए। हाथ से समरूपता के सभी अक्षों की पहचान करना आसान नहीं है। इसके अलावा, एकमात्र समूह जिसे मैंने इस बिंदु पर कुछ विस्तार से सीखा है$D_{2n}$, इसलिए कृपया "आवश्यक समूह" जैसे समाधान न दें$G$ एक ज्ञात और अच्छी तरह से अध्ययन समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $X$, और हम जानते हैं $|X| = ?$ तोह फिर $|G| = ?$"
मुझे लगता है कि यह सभी विशिष्ट कठोर गति को गिनने का एक अच्छा तरीका है । क्या कोई मेरी इसमें मदद कर सकता है?
मैं जेम्स हा के समाधानों के बारे में यहां आया था , लेकिन मुझे समझ में नहीं आया कि पीडीएफ में प्रस्तुत समाधान कैसे टेट्राहेड्रोन और क्यूब मामलों के लिए भी मेरे बराबर हैं । यह अच्छा होगा अगर कोई मुझे समतुल्यता को देखने में मदद कर सकता है, और मुझे यह भी बता सकता है कि अन्य प्लेटोनिक ठोस के साथ कैसे आगे बढ़ना है! आपका बहुत बहुत धन्यवाद!
जवाब
मौजूदा उत्तरों और अतिरिक्त टिप्पणियों में कुछ विस्तार करने के लिए:
संतरे के रूप में उल्लेख है, आप दो किनारों के बीच परिवर्तनों की संख्या से समरूपता समूह के आकार का अनुमान लगा सकते हैं। यहाँ यह अधिक स्पष्ट रूप से देखने का एक तरीका है:
पॉलीहेड्रॉन पर निर्देशित किनारों पर विचार करें , जिसमें एक वर्टेक्स होता है और उस वर्टेक्स से निकलने वाला एक किनारा होता है (या इसके समकक्ष, इसके एक छोर के साथ एक छोर प्रतिष्ठित होता है)। अगर हमारे पास है$e$ किनारों, तो हमारे पास है $2e$इन निर्देशित किनारों के। क्योंकि हम प्लेटोनिक ठोस का उपयोग कर रहे हैं, इनमें से हर एक को किसी भी अन्य में ले जाया जा सकता है (यह प्लेटोनिक ठोस की अधिकांश परिभाषाओं से बहुत आसानी से अनुसरण करता है, लेकिन बहुत सहज होना चाहिए)।
लेकिन एक बार जब हम जानते हैं कि एक निर्देशित बढ़त है $(v_1,e_1)$ दूसरे निर्देशित किनारे पर जाता है $(v_2,e_2)$, हमने पूरी तरह से रोटेशन निर्दिष्ट किया है: एक बार जब हम चलते हैं $v_1$ सेवा मेरे $v_2$, हमने एक ही धुरी पर संभावित घुमावों को बाधित किया है जिसके चारों ओर चीजें बदल सकती हैं (क्योंकि हमारे पास एक बिंदु है जो अब स्थिर है), और इसे घुमाने के उन तरीकों में से केवल एक ही आगे बढ़ेगा $e_1$ सेवा मेरे $e_2$।
विशेष रूप से, इसका मतलब है कि एक घुमाव विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट है जहां यह एक एकल निर्देशित किनारा लेता है; प्रत्येक के बाद से$2e$ संभावनाएं एक अद्वितीय रोटेशन देती हैं, होनी चाहिए $2e$ संभव रोटेशन।
(यदि हम अभिविन्यास-प्रतिवर्ती परिवर्तनों की अनुमति देते हैं, तो दो बार कई होते हैं; हर तरह से एक दूसरे को निर्देशित बढ़त लेने के लिए, हम एक दूसरा परिवर्तन फिक्सिंग प्राप्त करते हैं जो इसके बारे में दर्शाते हुए निर्देशित बढ़त प्राप्त करते हैं।)
एक धुरी को ठीक करने वाले पहचान परिवर्तनों के लिए, ये सभी समान पहचान परिवर्तन हैं; वे आकार को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।
प्रत्येक संभव प्लेटोनिक सॉलिड के लिए संभवतया (ओरिएंटेशन-प्रोटेक्शन) घुमावों के प्रकारों को अधिक स्पष्ट रूप से समझना
प्रत्येक प्लैटोनिक ठोस के लिए, संभव घुमाव या तो एक शीर्ष के बारे में एक nontrivial रोटेशन है, a $180^\circ$ एक किनारे के बारे में रोटेशन, एक चेहरे के बारे में एक nontrivial रोटेशन, या पहचान परिवर्तन।
टेट्राहेड्रॉन के लिए, चेहरे विपरीत कोने हैं, इसलिए हैं $4\cdot (3-1)$ nontrivial वर्टेक्स / फेस रोटेशन, $1$ पहचान, और $3$ किनारा-झपट ($6$ किनारों, लेकिन दो प्रति फ्लिप का इस्तेमाल किया), कुल के लिए $12$।
क्यूब के लिए, वहाँ हैं $8\cdot (3-1)/2$ शीर्ष घूर्णन, $6\cdot(4-1)/2$ चेहरा घूमता है, $12/2$ बढ़त flips, और $1$ कुल के लिए पहचान $24$।
ऑक्टाहेड्रोन के लिए, हैं $6\cdot(4-1)/2$ शीर्ष घूर्णन, $8\cdot (3-1)/2$ चेहरा घूमता है, $12/2$ बढ़त flips, और $1$ कुल के लिए पहचान $24$।
डोडेकाहेड्रोन के लिए, हैं $20\cdot(3-1)/2$ शीर्ष घूर्णन, $12\cdot(5-1)/2$ चेहरा घूमता है, $30/2$ बढ़त flips, और $1$ कुल के लिए पहचान $60$।
Icosahedron के लिए, वहाँ हैं $12\cdot(5-1)/2$ शीर्ष घूर्णन, $20\cdot(3-1)/2$ चेहरा घूमता है, $30/2$ बढ़त flips, और $1$ कुल के लिए पहचान $60$।
कार्डबोर्ड से चार समान समबाहु त्रिभुजों को काटने और उन्हें एक साथ जोड़ने के लिए कोई विकल्प नहीं है जो टेट्राहेड्रॉन बनाने के लिए। एक बार जब आप ऐसा कर लेते हैं, तो एक किनारे के केंद्र में एक उंगलियों को रखें और दूसरी उंगली को विपरीत किनारे के केंद्र में रखें। फिर टेट्राहेड्रोन को अपनी उंगलियों से जुड़ने वाली धुरी के बारे में बताएं। आपको पता होना चाहिए कि ए$180^\circ$रोटेशन tetrahedron को अपने आप में वापस लाता है। मेरे अनुभव में, यह कल्पना करना कठिन है जब तक कि आपने इसे शारीरिक रूप से नहीं किया है।
विपरीत किनारों के तीन ऐसे जोड़े हैं और इसलिए तीन ऐसे हैं $180^\circ$घूमता है। ये, एक साथ पहचान और आठ घूर्णन के साथ$\pm120^\circ$ टेट्राहेड्रोन के सभी घूर्णी समरूपता के लिए एक चेहरे के केंद्रक के विपरीत विपरीत शीर्ष खाते में शामिल होने वाले विभिन्न अक्षों के बारे में।
अन्य प्लेटोनिक ठोस समान हैं $180^\circ$घूमता है। लेकिन अगर आप सिर्फ एक गिनती चाहते हैं, तो आप कुछ सरल कर सकते हैं। निश्चित अभिविन्यास के साथ ठोस का सामना करने वाले एक चेहरे से शुरू करें (एक किनारे क्षैतिज कहें)। यदि यह ए$m$-सारा चेहरा, हैं $m$ किनारों जो क्षैतिज एक हो सकते हैं, और ये $m$चेहरे के केंद्र के बारे में घुमाकर सभी को एक दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। अब अगर ठोस है$f$ चेहरा, किसी भी $f$एक रोटेशन द्वारा "आप का सामना करना" स्थिति में लाया जा सकता है। तो वहाँ होना चाहिए$mf$घूर्णी समरूपता। यह सब कुछ के लिए खाता है।
संतरे का जवाब समान है, लेकिन इससे भी सरल है। क्षैतिज रूप से उन्मुख, आपके सामने एक किनारे से शुरू करें। इस किनारे वाले क्षैतिज तल को ऐसा होने दें कि यह उस किनारे से मिलने वाले दो चेहरों के बीच के डायहेड्रल कोण को काट दे। (दूसरे शब्दों में, आपके दृष्टिकोण से, ये दो चेहरे, जो आपसे दूर हैं, समान दिखाई देंगे।) अब आप कर सकते हैं$180^\circ$रोटेशन की चर्चा ऊपर की गई है, लेकिन आप रोटेशन द्वारा "सामना करना पड़ रहा है" स्थिति के लिए ठोस के किसी अन्य किनारे को भी ला सकते हैं। तो वहाँ हैं$2e$ समरूपता।
में पॉलीहेड्रा के लिए $3$ अंतरिक्ष आप दिखा सकते हैं कि एक किनारा $a$ anoother किनारे पर ले जाया जा सकता है $b$ द्वारा द्वारा $2$ अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन ठोस (एक मिलता है, और फिर भी चारों ओर घूम सकता है $b$) है। यदि आप सभी परिवर्तनों पर विचार करते हैं, तो वहाँ हैं$4$ इस तरह के बदलाव।
इसलिए, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, कहां है $e$ के किनारों की संख्या है $S$।