राइडर की पुस्तक से इलेक्ट्रॉन आत्म-ऊर्जा का आयामी नियमितीकरण

Aug 15 2020

मैं राइडर की पाठ्यपुस्तक का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन आत्म-ऊर्जा का अध्ययन कर रहा हूं, पृष्ठ 334 में हम देख सकते हैं

परिभाषित करना $k'=k-pz$ और रैखिक शब्द को टालना $k'$(क्योंकि यह शून्य को एकीकृत करता है) \ start {समीकरण {\ सिग्मा (p) = - यानी ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu ({\ not} p - \ \ not) देता है p z + m) \ gma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {(2 \ pi) ^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z (1) -z)] ^ 2}। \ लेबल {r2.7} \ end {समीकरण} [...] यह इंटीग्रल समीकरण (9A.5) की मदद से किया जाता है, जिससे \ start {समीकरण} \ सिग्मा (p) मिलता है। ) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz / गामा_ \ mu [{\ not} p (1-z) + m] \ gamma ^ \ n [-m ^ 2z + p ^ 2z (1-z)] ^ {d / 2-2}। \ अंत {समीकरण}

समीकरण 9A.5 है { start {समीकरण} \ int \ frac {d ^ dp} {(p ^ 2 + 2pq-m ^ 2) ^ {\ Alpha}} = (- 1) ^ {d / 2} \ imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left (\ Alpha- \ frac {d} {2} \ right)} {\ Gamma (\ अल्फा)} \ frac {1} {[- q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ Alpha-d / 2}}। \ टैग {9A.5} \ end {समीकरण} मुझे समझ में नहीं आता कि कैसे उसने इस इंटीग्रल (9A.5) को लागू किया ताकि परिणाम \ _ प्राप्त हो सके {समीकरण} \ सिग्मा (p) = \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma (2- \ frac {d} {2})} {(4 \ pi) ^ {d / 2} ) }। \ end {समीकरण} कृपया मुझे एक विचार प्राप्त करने में मदद करें।

जवाब

2 DavideMorgante Aug 15 2020 at 17:01

यह केवल अभिन्न में परिणाम (9A.5) को लागू करने की बात है $d^d k^\prime$। वास्तव में कॉल$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ और रखें $q=0$ अभिन्न में (9A.5) $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

जहां हमने अभी से एकीकरण चर को बदल दिया है $k^\prime$ सेवा मेरे $p$परिणाम 9A.5 से इसे स्पष्ट करने के लिए। इस तथ्य का उपयोग करना$\Gamma(2) = 1$, उपरोक्त परिभाषा का उपयोग कर $M^2$ और आपको थोड़ा सा सरलीकरण करना $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है $2^d = 4^{d/2}$

1 my2cts Aug 15 2020 at 18:28

9A5 में भव्य में ty के साथ पहले समीकरण में दूसरे इंटीग्रांड की तुलना करें। तुम यह देखो कि$\alpha \rightarrow 2$, $q \rightarrow 0$, $ -m^2 \rightarrow etc.$एक को दूसरे में बदल देगा। 9 ए 5 के आरएचएस में समान प्रतिस्थापन करना, आपको वांछित परिणाम देना चाहिए।