रेखीय क्रम के राक्षसी सिद्धांत में वास्तविक के राक्षसी सिद्धांत की व्याख्या करना।

Question

नीचे Gurevich, Shelah से एक उद्धरण है - ऑर्डर ऑफ़ मोनाडिक थ्योरी में दूसरे ऑर्डर लॉजिक की व्याख्या करना । मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि वास्तविक लाइन के मोनैडिक सिद्धांत को ऑर्डर के मोनैडिक सिद्धांत में कैसे समझा जा सकता है (वे आगे कोई स्पष्टीकरण या प्रमाण शामिल नहीं करते हैं, केवल यह कहते हुए कि यह आसानी से किया जा सकता है)।

यहां कुछ परिभाषाएं दी गई हैं जो उपयोगी हो सकती हैं। अगर$(\alpha,<)$ एक रेखीय क्रम है और फिर 'के सिद्धांत के द्वारा $\alpha$'का अर्थ है संरचना का पहला क्रम सिद्धांत $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ कहां है $<$ का आदेश है $\alpha$सिंगलटन सबसेट पर दिया गया। 'ऑर्डर का अद्वैत सिद्धांत' इन सभी पहले के सिद्धांतों का प्रतिच्छेदन है जैसा कि हम अनुमति देते हैं$\alpha$ सभी रेखीय आदेशों पर भिन्न हो सकते हैं।

क्या शायद स्वयंसिद्ध कुछ पुनरावर्ती सेट है $T_{\mathbb{R}}$ ऐसा है कि अगर हम के साथ आदेश के राक्षसी सिद्धांत के संघ ले $T_{\mathbb{R}}$ हमें संरचना का पूरा सिद्धांत मिलता है $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (वर्थ नोटिंग, ऑर्डर के मोनैडिक सिद्धांत और के सिद्धांत दोनों$\mathbb{R}$ अविवेकी हैं)।

मुझे यह 'आसान' व्याख्या नहीं मिल रही है लेकिन मुझे लगता है कि मुझे कुछ स्पष्ट याद आ रहा है।

Answer 1

मैं यह नहीं देखता कि मैं अपनी मूल रणनीति को कैसे तय करूं - विशेष रूप से, हालांकि मेरे पास प्रतिपक्ष नहीं है मुझे संदेह है कि "एंडपॉइंट्स या अलग-अलग बिंदुओं के बिना एक डेडेकिंड-पूर्ण रैखिक क्रम है, जिनकी सभी उप-सीमाओं में cofinality और संयोगशीलता है $\le \omega$"जरूरी नहीं कि नीचे पिन करें$\mathbb{R}$ आइसोमोर्फिज्म तक।

हालाँकि, हम अभी भी अपेक्षित कमी प्राप्त कर सकते हैं (हालांकि एक नज़र में यह प्रति व्याख्या व्याख्या नहीं करता है - अभी भी उस बारे में सोच रहा है)। कहो कि एक रैखिक आदेश$A$ है $\mathbb{R}$ish अगर यह Dedekind-complete है और इसमें कोई समापन बिंदु या पृथक बिंदु नहीं हैं। मुख्य अवलोकन निम्नलिखित है:

(लेम्मा) हर$\mathbb{R}$ish ऑर्डर में एक सबऑर्डर isomorphic है $\mathbb{R}$, और हर $\mathbb{R}$की ish सबऑर्डर $\mathbb{R}$ isomorphic है $\mathbb{R}$।

बात तब की है $\mathbb{R}$MSO- निश्चित अर्थों में आदेशों के MSO- निश्चित वर्ग के नीचे बैठता है। तो हम निम्नलिखित अनुवाद कर सकते हैं:

(परिभाषा) एक एमएसओ वाक्य के लिए$\varphi$, चलो $\hat{\varphi}$ MSO वाक्य हो "हर $\mathbb{R}$ईश आदेश में एक है $\mathbb{R}$ish सबऑर्डर संतोषजनक $\varphi$"

लेम्मा से हमारे पास ऐसा है $\hat{\varphi}$ आदेश iff के एमएसओ-सिद्धांत का हिस्सा है $\mathbb{R}\models\varphi$:

• अगर $\mathbb{R}\not\models\varphi$ तब फिर $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, सब के बाद $\mathbb{R}$ish की सीमाएँ $\mathbb{R}$ से समरूप हैं $\mathbb{R}$ लेम्मा के अनुसार और इसलिए भी संतुष्ट नहीं है $\varphi$।

• इसके विपरीत, यदि $\mathbb{R}\models\varphi$ फिर हर $\mathbb{R}$ish रैखिक क्रम में a है $\mathbb{R}$ish सबऑर्डर संतोषजनक $\varphi$ - अर्थात्, किसी भी उपसमूह समद्विभाजक को $\mathbb{R}$ स्वयं, जो कि प्रति लीमा के अस्तित्व की गारंटी है।

वो नक्शा $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ स्पष्ट रूप से गणना योग्य है, और इसलिए हमें इसमें कमी आती है $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ वांछित के रूप में आदेश के राक्षसी सिद्धांत के लिए।