रीमैन-स्टील्त्ज प्रमेय पर काउंटर उदाहरण
मान लीजिए $f$ पर उबला हुआ है $[a,b]$, $f$ केवल सूक्ष्मता के कई बिंदु हैं $[a,b]$ तथा $ \alpha $निरंतरता के हर बिंदु पर है। फिर$f \in \Re(\alpha)$
क्या कोई उदाहरण है कि यदि $f$ पर बांधा गया है $[a,b]$ और पर असंतोष है $ x=c \in $[ए, बी], $ \alpha(x) $ पर असंतोष है $ x=c $ साथ ही, लेकिन $ f \in \Re(\alpha)$?
जवाब
एक उदाहरण जहां अभिन्न और इंटीग्रेटर दोनों बंद हैं, लेकिन रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल मौजूद है$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$
उप-विभाजन के साथ एक विभाजन के लिए $I_c =[c,c+\delta]$ हम दोनों ऊपरी और निचले डार्बोक्स-स्टिलटेजेस के बराबर हैं $1$ जबसे $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ तथा $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$। इससे यह साबित होता है$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ किसी के लिए $\epsilon > 0$ वहाँ एक विभाजन है कि ऐसा है $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$।