साबित है कि सभी के लिए $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$

Nov 29 2020

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$

सच कहूं तो, मैं वास्तव में शुरू नहीं कर सकता,

मैं हर किसी से पूछना चाहता हूं कि मुझे इसका हल कैसे निकालना है, मुझे एक शुरुआती धक्का दे, धन्यवाद।

जवाब

AlbusDumbledore Nov 30 2020 at 03:10

हम इस तरह से योग को फिर से लिखते हैं;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$

यह सिर्फ गुणांक है $x^{n-1}$ विस्तार में $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$

इसे जीपी के रूप में पहचानें: इसलिए हम गुणांक चाहते हैं $x^{n-1}$ में $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$

या $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ गुणांक है $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$

3 peterwhy Nov 30 2020 at 00:57

वैसे, जिस उत्पाद को अभिव्यक्त किया जा रहा है, वह नकारात्मक द्विपद वितरण के PMF जैसा दिखता है , कि जब तक एक निष्पक्ष सिक्का को पलटने के लिए$n$ सिर, वहाँ है $\frac 12$ संभावना है कि वहाँ सबसे अधिक थे $n-1$ से पहले पूंछता है $n$गु सर।

चलो $\Pr(A)$ संभावना है कि वहाँ सबसे अधिक थे $n-1$ से पहले पूंछता है $n$गु सर।

फिर $1-\Pr(A)$ संभावना होगी कि $n$वें पूँछ दिखाई देते हैं जबकि वहाँ सबसे अधिक थे $n-1$ प्रमुख हैं।

एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, सिर और पूंछ सममित हैं, और इसी तरह

$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$