साबित कर दिया कि एक टुकड़ा करने की क्रिया पर Darboux पूर्णांक है $[0,2]$ सहायता

Aug 16 2020

चलो $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ द्वारा दिया जाए

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

साबित करो $f$ Darboux पूर्णांक और गणना है $\int_{0}^{2}f$

प्रयास करना

फ़ंक्शन सभी के लिए Darboux पूर्णांक साधन है $\epsilon > 0$, वहाँ एक विभाजन मौजूद है $P$ का $[0,2]$ ऐसा है कि $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$

मान लीजिए $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ का एक विभाजन है $[0,2]$ साथ से $t_{j-1} < 1 < t_{j}$

के लिये, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

के लिए भी $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

अब मुझे मैनेज करने में परेशानी हो रही है $x = 1$जो कि जहां असंतोष है और जाहिर तौर पर समस्या की चुनौती है। सबसे पहले मैं यह कहने जा रहा था$m_{i} = M_{i} = 100$ जो भी अंतराल 1 नंबर में है और वह मुझे देगा:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

तथा

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

फिर इनको घटाकर मुझे प्राप्त होगा $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$

लेकिन मुझे लगता है कि यह सही उत्तर नहीं है और मुझे विभाजन को थोड़ा और स्पष्ट रूप से व्यक्त करने की आवश्यकता है। जो भी हो$U(f,P) - L(f,P)$है, यह अंत में अभिन्न क्या है अभिसरण जा रहा है। और इंटीग्रल की गणना करते समय (पहले के कैल्क टेचिनीक्स का उपयोग करके एक चेक के रूप में) मुझे मिलता है$5$जो ऊपरी और निचले योगों में अंतर का मूल्य नहीं है। मुझसे कहां गलती हो रही है?

जवाब

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

तय किया हुआ $\varepsilon$ और ले लिया $\delta$ काफी छोटा, आप ले सकते हैं $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
ताकि \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} इतना है कि करने के लिए $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ तुम्हे चुनना है $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$