साबित करना $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$ [डुप्लिकेट]

Jan 25 2021

मुझे साबित करने की जरूरत है $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$लेकिन मैं अपने दिमाग के अंत में हूं। मैंने वेब को स्कैन किया है, लेकिन मैं केवल उदाहरणों / उत्तरों को उलटा साबित कर सकता हूं = 0 और मैंने बिना किसी लाभ के विस्तारित तरीकों का एक गुच्छा बनाने की कोशिश की है (विस्तारित शब्द, लाहोलिपी नियम अनगिनत अलग-अलग व्युत्पत्तियों के साथ जो सभी गलत थे)। क्या कोई मुझे सही दिशा में इंगित कर सकता है, मैं पूरी तरह से फंस गया हूं ...

जवाब

3 BenjaminWang Jan 25 2021 at 08:52

ध्यान दें कि $\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$। संबंधित रेखांकन खींचकर, आप देख सकते हैं:

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

अब अभिन्न की गणना करें $\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, तो ऊपर बन जाता है

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

और अब हम आपके परिणाम को निचोड़कर प्रमेय प्राप्त करते हैं, जिससे विभाजित होकर।

1 crystal_math Jan 25 2021 at 09:04

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ इसलिए $\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

जैसा कि आप ऊपरी सीमा की इस सीमा का मूल्यांकन करते हैं, आपको मिलेगा $2$ जबसे $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$। हालांकि, यदि आप चुनते हैं$\epsilon >1$, आप समझ सकते हैं

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ इसलिए $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

और तब से $\epsilon>1$ (मनमाना), आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(आप आसानी से निचली सीमा प्राप्त कर सकते हैं) और इसलिए सीमा होनी चाहिए $1$

1 zkutch Jan 25 2021 at 08:58

का उपयोग करते हुए $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ अपने पास $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

जोड़।

बाईं ओर प्रेरण का पहला चरण स्पष्ट है। फिर$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$ चूंकि $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ समतुल्य है $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$

दाईं ओर के लिए $$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

UNOwen Jan 25 2021 at 09:00

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

L'Hôpital का नियम लागू करना,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

फिर से लगाना, पैदावार

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

हर 1 के रूप में $x\rightarrow \infty$