समाकृतिकता $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [डुप्लिकेट]

Question

मैं एक समूह समरूपता खोजना चाहता हूं $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $। एक परिमित एबेलियन समूह की मूलभूत प्रमेय और चीनी शेष प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि वे समूह समसामयिक हैं, लेकिन मैं एक समरूपता का निर्माण करके इसे दिखाना चाहता हूं।

हालाँकि, मुझे नहीं पता कि पहला कदम क्या है। केवल एक चीज मुझे पता है कि$f(0,0)=(0,0)$ चूंकि एक आइसोमोर्फिज्म एक पहचान तत्व को एक पहचान तत्व में मैप करता है।

फिर मैंने देखा कि एक आइसोमॉर्फिज़्म का निर्माण कैसे किया जाता है? और जिस तरह से नकल करने की कोशिश की$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक आक्षेप नहीं है।

अब मैं यहां फंस गया हूं। कोई मदद?

Answer 1

हम एक मध्यवर्ती समूह का परिचय देते हैं $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$। के रूप में इस समूह के एक मनमाना तत्व का प्रतिनिधित्व करते हैं$(a,b,c)$ जहां सूचकांक अवशेष मोडुलो हैं $17,3,187$ क्रमशः।

इस समूह से डोमेन के लिए एक समरूपता है $f$: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$। के कोडोमैन के लिए एक समरूपता भी है$f$: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$। इन दोनों आइसोमॉर्फिम्स को एक साथ रखें और आपके पास आवश्यक है$f$।