सामान्य रूप से फ़ंक्शन रिक्त स्थान के योग पर
रिक्त स्थान के योग पर मानक के लिए क्या सम्मेलन है $X+Y$, साथ ही रिक्त स्थान के चौराहे पर $X\cap Y$?
मैं एक पेपर पढ़ रहा हूं जहां लेखक स्पष्ट रूप से मानदंड लिखे बिना फ़ंक्शन रिक्त स्थान का उपयोग करते हैं, और वे आगे कोई टिप्पणी नहीं करते हैं।
मैं सोच रहा हूँ कि शायद सबसे प्रशंसनीय मानदंड $X\cap Y$ है $\|f\|_X +\|f\|_Y$ के लिए आदर्श के साथ $X+Y$ तब जा रहा है $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$।
माफी अगर यह सवाल एक डुप्लिकेट है, तो जिस स्थिति में मुझे इसे हटाने में खुशी होगी। मुझे गणित स्टेक्सचेंज पर एक समान प्रश्न नहीं मिला।
जवाब
https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space
मान लो की $X$ तथा $Y$ एक हॉसडॉर्फ सामयिक वेक्टर अंतरिक्ष में लगातार एम्बेड करें $Z$ (ताकि $X\cap Y$ तथा $X + Y$सही बात)। आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मानदंड हैं:$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ के लिए आदर्श $X \cap Y$समझ में आता है, और आपके द्वारा सुझाए गए आदर्श के बराबर है। के लिये$X+Y$दो मानदंडों में से न्यूनतम, दुर्भाग्य से, एक आदर्श नहीं है।
इसके बजाय, अंतरिक्ष के बारे में सोचो $X \oplus Y$ आदर्श के साथ $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$। उपप्रजाति को देखें$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$। फिर$X + Y$ isomorphic to quotient space $(X \oplus Y) / U$। यह एक त्वरित प्रमाण प्रदान करता है कि$X + Y$ उपरोक्त मानदंड से सुसज्जित वास्तव में एक बाणचट स्थान है।