समूह हाइपरकोहोमोलॉजी के लिए इस कोबाउंडरी होमोमोर्फिज्म का अर्थ क्या है?
$\require{AMScd}$ लश्कर $\Gamma=\{1,\gamma\}$ आदेश का एक समूह होना 2. वास्तविक समस्या निवारण समूहों की गाल्वा कोओमोलॉजी से मेरी समस्या में मैं कम्यूटेटिव आरेख में आया था $\Gamma$-मॉड्यूल्स (एबेलियन समूहों के साथ $\Gamma$-वाचन) \ start {समीकरण *}% \ लेबल {e: cd} \ start {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @। @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @। @VV {\ Alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ Alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ n अंत / जेपी } \ end {समीकरण *} जिसमें पंक्तियाँ सटीक हैं, लेकिन कॉलम नहीं (और)$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$) का है। आरेख के ऊपर और नीचे की पंक्तियों को विहित रूप से विभाजित किया गया है:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ और ये स्प्लिटिंग संगत हैं: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ के लिये $q_3\in Q_3$। मैं टेट हाइपरकोहोमोलॉजी समूहों पर विचार करता हूं$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ जहां दोनों छोटे परिसर डिग्री में हैं $(-1,0)$।
नीचे मैं "हाथ से" एक कैनोनिकल कोबाउंड्री होमोमोर्फिज़्म का निर्माण करता हूं $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
सवाल। मैं एक सामान्य सिद्धांत से कैसे इस कोबाउंड्री होमोर्फिज्म को प्राप्त कर सकता हूं?
रिमार्क। एक समूह के लिए$\Gamma$क्रम 2 (और किसी भी चक्रीय समूह के लिए भी$\Gamma$) टेट कोहोमोलॉजी और हाइपरकोहोमोलॉजी पीरियड के साथ समय-समय पर होते हैं। इसलिए, हमारे $\delta$ एक नक्शा है $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ जहां दोनों कॉम्प्लेक्स डिग्री में हैं $(-2,-1,0)$।
निर्माण। हम शुरुआत करते हैं$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$। यहाँ$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, वह है, \ _ {समीकरण} q_3 \ _ Q_3 में, \ Quad x_3 \ _ में X_3, \ quad \ _, ^ {\ Gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ Gamma \ kern। -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3)। टैग$**$} \ end {समीकरण} हम कैनोनिक रूप से उठाते हैं $ q_3$ सेवा मेरे $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ और हम उठाते हैं $ x_3$करने के लिए कुछ $ x_2\in X _2$। हम लिखते हैं$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ कहां है $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ तथा $ p_1\in P_1$। हमलोग तैयार हैं$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ के बाद से $(*)$ अपने पास $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ हम देखते है कि $ x_1\in X _1$। हम गणना करते हैं:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ द्वारा द्वारा $(**)$। इसके अलावा,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} द्वारा द्वारा $(*)$ तथा $(**)$। इस प्रकार$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ हम देखते है कि $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$। हमलोग तैयार हैं$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ एक सीधी जाँच से पता चलता है कि नक्शा $\delta$ एक अच्छी तरह से परिभाषित समरूपता है।
जवाब
मेरा मानना है कि इसे संभालने का सबसे आसान तरीका त्रिभुजित श्रेणियों की औपचारिकता में है। आप इसे विभिन्न तरीकों से कर सकते हैं: या तो अनबाउंड व्युत्पन्न श्रेणी के साथ काम करें या (शायद आसान) प्रत्येक मॉड्यूल को बदलें$M$ साथ से $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ कहां है $\mathcal R$ के लिए पूर्ण संकल्प है $\Gamma$, यानी मानक अनबाउंड 2-आवधिक जटिल $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$का $\Gamma$-मॉड्यूल।
तो चलो $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ मनमाना त्रिभुज श्रेणी में एक सटीक त्रिभुज हो और जाने दो $Q_3\to X_2\to P_1$शून्य सम्मिश्र के साथ मनमाने ढंग से हो। लश्कर$P$ का फाइबर हो $X_1\to P_1$ और जाने $Q$ का कोफ़िबर बनो $Q_3\to X_3$। हमारा उद्देश्य है कि सभी का निर्माण एक विहित मानचित्र से हो$Q\to\Sigma P$। यह पता चला है कि ऐसा कोई मानचित्र है जो कि और यदि केवल है तो एक समरूपता है$Q_3\to X_2\to P_1$ सटीक है।
समग्र के बाद से $Q_3\to X_2\to P_1$ नक्शा शून्य है $X_2\to P_1$ के cofiber के माध्यम से कारक $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, और नक्शा $Q_3\to X_2$ फाइबर के माध्यम से कारक $P_0\to X_2$ का $X_2\to P_1$। इस प्रकार सभी में$X_1\to P_1$ समग्र में कारक $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, जबकि $Q_3\to X_3$ समग्र में कारक $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$।
पहले ध्यान दें कि इन परिस्थितियों में कोफ़िबर $Q_3\to P_0$ के आइसोमोर्फिक है $Q_0\to P_1$; इसके द्वारा निरूपित करना$H$समग्र $P_0\to H\to Q_0$ समग्र है $P_0\to X_2\to Q_0$।
हमें ऑक्टाहेड्रोन स्वयंसिद्ध के आठ उदाहरण मिलते हैं, जो हमें बताते हैं कि विभिन्न रचनाओं के लिए $f\circ g$ सटीक त्रिकोण हैं $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ तथा $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$। कड़ाई से बोलते हुए, उन सभी की आवश्यकता नहीं है, लेकिन पूर्णता के लिए मुझे उन सभी को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता है।
रचना योग्य जोड़ा | सटीक त्रिकोण देता है |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
यह सब एक आरेख में डालने के लिए - किस प्रकार, उन पर तीन वस्तुओं के साथ लाइनें सटीक त्रिकोण का प्रतिनिधित्व करती हैं; सब कुछ चलता है।