समूह हाइपरकोहोमोलॉजी के लिए इस कोबाउंडरी होमोमोर्फिज्म का अर्थ क्या है?

Jan 11 2021

$\require{AMScd}$ लश्कर $\Gamma=\{1,\gamma\}$ आदेश का एक समूह होना 2. वास्तविक समस्या निवारण समूहों की गाल्वा कोओमोलॉजी से मेरी समस्या में मैं कम्यूटेटिव आरेख में आया था $\Gamma$-मॉड्यूल्स (एबेलियन समूहों के साथ $\Gamma$-वाचन) \ start {समीकरण *}% \ लेबल {e: cd} \ start {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @। @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @। @VV {\ Alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ Alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ n अंत / जेपी } \ end {समीकरण *} जिसमें पंक्तियाँ सटीक हैं, लेकिन कॉलम नहीं (और)$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$) का है। आरेख के ऊपर और नीचे की पंक्तियों को विहित रूप से विभाजित किया गया है:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ और ये स्प्लिटिंग संगत हैं: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ के लिये $q_3\in Q_3$। मैं टेट हाइपरकोहोमोलॉजी समूहों पर विचार करता हूं$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ जहां दोनों छोटे परिसर डिग्री में हैं $(-1,0)$

नीचे मैं "हाथ से" एक कैनोनिकल कोबाउंड्री होमोमोर्फिज़्म का निर्माण करता हूं $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

सवाल। मैं एक सामान्य सिद्धांत से कैसे इस कोबाउंड्री होमोर्फिज्म को प्राप्त कर सकता हूं?

रिमार्क। एक समूह के लिए$\Gamma$क्रम 2 (और किसी भी चक्रीय समूह के लिए भी$\Gamma$) टेट कोहोमोलॉजी और हाइपरकोहोमोलॉजी पीरियड के साथ समय-समय पर होते हैं। इसलिए, हमारे $\delta$ एक नक्शा है $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ जहां दोनों कॉम्प्लेक्स डिग्री में हैं $(-2,-1,0)$

निर्माण। हम शुरुआत करते हैं$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$। यहाँ$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, वह है, \ _ {समीकरण} q_3 \ _ Q_3 में, \ Quad x_3 \ _ में X_3, \ quad \ _, ^ {\ Gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ Gamma \ kern। -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3)। टैग$**$} \ end {समीकरण} हम कैनोनिक रूप से उठाते हैं $ q_3$ सेवा मेरे $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ और हम उठाते हैं $ x_3$करने के लिए कुछ $ x_2\in X _2$। हम लिखते हैं$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ कहां है $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ तथा $ p_1\in P_1$। हमलोग तैयार हैं$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ के बाद से $(*)$ अपने पास $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ हम देखते है कि $ x_1\in X _1$। हम गणना करते हैं:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ द्वारा द्वारा $(**)$। इसके अलावा,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} द्वारा द्वारा $(*)$ तथा $(**)$। इस प्रकार$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ हम देखते है कि $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$। हमलोग तैयार हैं$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ एक सीधी जाँच से पता चलता है कि नक्शा $\delta$ एक अच्छी तरह से परिभाषित समरूपता है।

जवाब

3 მამუკაჯიბლაძე Jan 12 2021 at 00:27

मेरा मानना ​​है कि इसे संभालने का सबसे आसान तरीका त्रिभुजित श्रेणियों की औपचारिकता में है। आप इसे विभिन्न तरीकों से कर सकते हैं: या तो अनबाउंड व्युत्पन्न श्रेणी के साथ काम करें या (शायद आसान) प्रत्येक मॉड्यूल को बदलें$M$ साथ से $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ कहां है $\mathcal R$ के लिए पूर्ण संकल्प है $\Gamma$, यानी मानक अनबाउंड 2-आवधिक जटिल $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$का $\Gamma$-मॉड्यूल।

तो चलो $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ मनमाना त्रिभुज श्रेणी में एक सटीक त्रिभुज हो और जाने दो $Q_3\to X_2\to P_1$शून्य सम्मिश्र के साथ मनमाने ढंग से हो। लश्कर$P$ का फाइबर हो $X_1\to P_1$ और जाने $Q$ का कोफ़िबर बनो $Q_3\to X_3$। हमारा उद्देश्य है कि सभी का निर्माण एक विहित मानचित्र से हो$Q\to\Sigma P$। यह पता चला है कि ऐसा कोई मानचित्र है जो कि और यदि केवल है तो एक समरूपता है$Q_3\to X_2\to P_1$ सटीक है।

समग्र के बाद से $Q_3\to X_2\to P_1$ नक्शा शून्य है $X_2\to P_1$ के cofiber के माध्यम से कारक $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, और नक्शा $Q_3\to X_2$ फाइबर के माध्यम से कारक $P_0\to X_2$ का $X_2\to P_1$। इस प्रकार सभी में$X_1\to P_1$ समग्र में कारक $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, जबकि $Q_3\to X_3$ समग्र में कारक $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$

पहले ध्यान दें कि इन परिस्थितियों में कोफ़िबर $Q_3\to P_0$ के आइसोमोर्फिक है $Q_0\to P_1$; इसके द्वारा निरूपित करना$H$समग्र $P_0\to H\to Q_0$ समग्र है $P_0\to X_2\to Q_0$

हमें ऑक्टाहेड्रोन स्वयंसिद्ध के आठ उदाहरण मिलते हैं, जो हमें बताते हैं कि विभिन्न रचनाओं के लिए $f\circ g$ सटीक त्रिकोण हैं $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ तथा $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$। कड़ाई से बोलते हुए, उन सभी की आवश्यकता नहीं है, लेकिन पूर्णता के लिए मुझे उन सभी को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता है।

रचना योग्य जोड़ा सटीक त्रिकोण देता है
$Q_3\to P_0\to X_2$ $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$ $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$ $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$ $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$ $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$ $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$ $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

यह सब एक आरेख में डालने के लिए - किस प्रकार, उन पर तीन वस्तुओं के साथ लाइनें सटीक त्रिकोण का प्रतिनिधित्व करती हैं; सब कुछ चलता है।