सन्निकटन का महत्व $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Question

यह दिखाने के लिए कि ब्राउनियन गति का इन्फिनिटिसिमल जनरेटर है $\frac{1}{2}\Delta$, इस उत्तर में , पहले वह समीकरण लिखता है$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ तब वह निम्नलिखित अनुमान लगाता है: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ तब यह तर्क दिया जाता है कि "से (1) हम वही देखते हैं $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ गर्मी समीकरण का अनूठा (अनोखा) समाधान है "

जैसा कि यहां चर्चा की गई है , हम केवल सन्निकटन को गर्मी समीकरण में नहीं बदल सकते। यदि ऐसा है तो,

1. उस पोस्ट के लेखक ने यह अनुमान क्यों लगाया? सबूत के लिए उन्होंने इस सन्निकटन का उपयोग कैसे किया? अगर उसने इसका उपयोग नहीं किया,
2. क्या कोई उसके तर्क को और अधिक समझा सकता है: "से (1) हम देखते हैं कि $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ गर्मी समीकरण का अनूठा (अद्वितीय) समाधान है ... "?

Answer 1

आपका भ्रम पैदा हो सकता है क्योंकि आपको लगता है कि किसी तरह यह अनुमान गर्मी समीकरण के समाधान के लिए कार्य करता है। क्या हो रहा है कि आप कुछ आंशिक अंतर समीकरण (PDE) के समाधान के साथ शुरू करते हैं, और सन्निकटन इस PDE को गर्मी समीकरण के रूप में पहचानने का कार्य करता है। आपके द्वारा लिंक किए गए पदों में से कोई भी प्रमाण नहीं दिया गया था। अंतर्ज्ञान को विकसित करने में मदद करने के लिए वे केवल औपचारिक तर्क हैं।

अपने दूसरे प्रश्न से शुरू करें। समीकरण (1) है$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$द्वारा परिभाषा ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ स्थापना $u(t,x) = P_t f(x)$ समीकरण (1) में, हमारे पास है $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ _ हुकुम$}$$ यहाँ, $A$ एक अंतर ऑपरेटर है, इसलिए $u(t,x)$कुछ प्रारंभिक स्थितियों के साथ कुछ अंतर समीकरण हल करता है। यह कौन सा अंतर समीकरण है?

यह अनुमान लगाने के लिए कि यह कौन सा अंतर समीकरण है, सन्निकटन$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$प्रयोग किया जाता है। इसे सीधे बाएं हाथ में डालकर ($\spadesuit$), तुम खोजो $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ इस संबंध के आधार पर, क्या आप अनुमान लगा सकते हैं $A$ है?