सरल $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$।
यह अमन और एस्चर द्वारा विश्लेषण I के पृष्ठ 44 से व्यायाम 6 है ।
व्यायाम:
राशि को सरल कीजिए
\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}
के लिये $m, n \in \mathbb N$।
संकेत: के लिए $1 \leq j < \ell$ हमारे पास है $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$।
मेरा प्रयास:
दुर्भाग्य से मुझे समझ नहीं आ रहा है कि संकेत का उपयोग कैसे करें। मैं यह नहीं देखता कि यह राशि में अभिव्यक्ति के साथ कैसे मेल खाती है।
\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}
इस बिंदु पर मैं फंस गया हूं। मुझे यकीन नहीं है कि यह एक मृत अंत है, खासकर जब से मैंने संकेत का उपयोग नहीं किया है। मैं किसी भी मदद की सराहना करता हूं।
जवाब
के साथ शुरू $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ और संकेत का उपयोग करके $\ell=m+n+k$ तथा $j=k$, हमें मिला $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$यह एक दूरबीन योग है, इसलिए इसका आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है। अर्थात्, देना$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ तो प्रश्न में योग के बराबर है $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ कौन सी दूरबीन $a_n-a_{-1}$।