से नंबर $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ लिखित हैं और कोई भी दो $x,y$ लिया जाता है और हम बदल देते हैं $x,y$ बस के द्वारा $x+y+xy$

Aug 17 2020

यह वास्तव में एक अच्छा सवाल है!

हम संख्याओं की एक श्रृंखला लिखते हैं $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

अब हम कोई भी दो नंबर चुन सकते हैं $x$ तथा $y$ और हम इन दो नंबरों को सिर्फ एक नंबर से बदलते हैं $x+y+xy$

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि केवल एक संख्या शेष न हो, अंतिम संख्या ज्ञात करें।

यह सिर्फ मुझे चकित कर दिया है! गंभीरता से पता नहीं कैसे आगे बढ़ना है। क्या यह दिलचस्प नहीं है कि हम उसी संख्या के साथ समाप्त होते हैं जहां हम शुरू करते हैं? सभी संकेतों का स्वागत है कि इसे कैसे हल किया जाए

जवाब

8 TeresaLisbon Aug 17 2020 at 00:02

यह एक अपरिवर्तनीय प्रश्न है: एक फ़ंक्शन की कल्पना करें $f(x_1,...,x_m)$ (कहां है $m$ तर्कों की एक निश्चित संख्या है और $x_i$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ सभी वास्तविक संख्याएं हैं): $f(x_1,...,x_m)$ जब आप इनमें से किसी दो को लेते हैं तो वह नहीं बदलता है $x_i,x_j$ और उन्हें बस से बदल दें $x_i+x_j+x_ix_j$

फिर क्या होता है? अगर सिर्फ एक नंबर है$N$ उस सब के बाद बोर्ड पर छोड़ दिया $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, तोह फिर $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ उसे उपलब्ध कराया $f(x_1,...,x_m)$ वास्तव में एक दिखावा है।

इस कार्य के लिए एक संकेत $f$ से आता है $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, इसलिए कुछ इस तरह: जोड़ें $1$ आपके पास मौजूद सभी नंबरों पर, और इन परिणामों को एक साथ गुणा करें?

यह स्पष्ट है कि ऐसा कार्य कार्य करता है! जिस स्थिति में, हमें जोड़ना होगा$1$संख्याओं में से प्रत्येक के लिए, और उन सभी को गुणा करें। यह गुणा करने जैसा है$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, जो सिर्फ है $2011$

अब, जो भी अंतिम संख्या बोर्ड पर है, वह एक प्लस है $2011$, इसलिए यह $2010$

7 JCAA Aug 17 2020 at 00:01

आपरेशन $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ वास्तविक संख्याओं में साहचर्य होता है इसलिए परिणाम चरणों के क्रम पर निर्भर नहीं होता है और इसके बराबर होता है $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

6 Fawkes4494d3 Aug 17 2020 at 00:04

मान लीजिए आप चुनते हैं $\frac1m$ तथा $\frac1n$ पहली बारी में, उनके द्वारा प्रतिस्थापित करें $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(ध्यान दें कि $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

अगली बारी में, आप दो नंबर चुन सकते हैं $\frac1a$ तथा $\frac1b$, और बदली हुई संख्या ऊपर के साथ ही दिखेगी $a,b$ जगह $m,n$। हालांकि, यदि आप पिछले चरण में प्राप्त नए नंबर को चुनते हैं, अर्थात$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ और मूल संख्याओं में से एक $\frac1a$, तब आप उन्हें बदल देते हैं $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$

प्रेरण द्वारा दिखाने के लिए मध्यवर्ती चरणों में भरें कि किसी भी चरण में प्रतिस्थापित संख्या दिखाई देगी $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, ताकि अंतिम उत्तर होगा $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$