सिद्ध है कि दोहरे स्थान की $\ell^1$ है $\ell^{\infty}$
सिद्ध है कि दोहरे स्थान की $\ell^1$ है $\ell^{\infty}$
मेरे प्रयास : मैं इस सवाल का जवाब मिल गया है यहाँ लेकिन इस सवाल का जवाब समझने में सक्षम नहीं im
हम जानते हैं कि का मानदंड $ x\in \ell^1$ द्वारा दिया गया है $||x||_1=\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|$
का मानदंड $ x\in \ell^{\infty}$ द्वारा दिया गया है $||x||_{\infty}=\sup_{k\in \mathbb{N}}|a_k|$
अब यहाँ मेरा प्रमाण शुरू होता है :
जबसे $\ell^1$ अनंत आयामी है क्योंकि इसमें अनंत अनुक्रम शामिल हैं $(0,0,\dots,1,0,\dots)$
तो एक आधार मौजूद है $\{e_1,e_2,\dots,e_k\dots\}$ का $\ell^1$ कहाँ पे $e_k=M_{jk}=\begin{cases} 1 &\text{ if } j=k \\ 0 & \text{ if } j \neq k. \end{cases}$
इसका तात्पर्य है कि हर $x \in \ell^1$ के रूप में लिखा जा सकता है $x=a_1e_1+a_2e_2+\dots$
अब एक बाउंडेड लीनियर फंक्शनल लें $f$ का $\ell^1$
$f: \ell^1 \to \mathbb{R}$ द्वारा परिभाषित $f(x)= f(a_1e_1+a_2e_2+\dots)= a_1f(e_1)+a_2 f(e_2)+\dots=\sum_{k=1}^{\infty}a_kf(e_k)$
उसके बाद मैं आगे नहीं बढ़ पा रहा हूँ।
जवाब
जाहिर है, के हर तत्व $v\in\ell^\infty$ के एक तत्व को परिभाषित करता है $\ell^1$, अगर के बाद से $v=(v_j)$ तथा $x=(x_j)\in\ell^1$, तब फिर $$ v(x)=\sum_j v_jx_j\quad\text{and}\quad |v(x)|\le \sum_j |v_j||x_j|\le \big(\sup_j |v_j|\big)\sum_j|x_j|=\|v\|_\infty\|x\|_1 $$ चलो $\varphi\in(\ell^1)^*$ और सेट करें $v_j=\varphi(e_j)$ तथा $v=(v_j)$। स्पष्ट रूप से$$ |v_j|=|\varphi(e_j)|\le \|\varphi\|_*\|e_j\|_1=\|\varphi\|_* $$ और इसलिए $v\in\ell^\infty$ तथा $\|v\|_\infty\le \|\varphi\|_\infty$। यह दिखाना बाकी है$\varphi(x)=v(x)$, सबके लिए $x\in\ell^1$ तथा $\|v\|_\infty= \|\varphi\|_*$।
स्पष्ट रूप से, $\varphi(x)=v(x)$, के लिये $x=e_j$ और सभी के लिए $x$के परिमित रैखिक संयोजन जो हैं $e_j$का है। वे दोनों बाउंडेड लीनियर फंक्शंस भी हैं, और वे घने उपसमुच्चय पर सहमत हैं$\ell^1$, और इसलिए हर जगह सहमत हैं, अर्थात, $v\equiv \varphi$।
अंतिम भाग के लिए, यह दिखाना बाकी है $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$। अब, हर के लिए$\epsilon>0$, एक इकाई वेक्टर मौजूद है $w=(w_j)\in\ell^1$, ऐसा है कि $$ |\varphi(w)|>\|\varphi\|_*-\epsilon $$ और वहां भी मौजूद है $n\in\mathbb N$, ऐसा है कि $\|w-w(n)\|_1<\epsilon$, कहां है $w(n)=(w_1,w_2,\ldots,w_n,0,0,\ldots)$ और स्पष्ट रूप से $v(w(n))=\varphi(w(n))$। इसलिए$$ \|v\|_\infty\ge |v(w)|\ge |v(w_n)|-|v(w-w_n)|\ge|\varphi(w_n)|-\|v\|_\infty\|w-w_n\|_1 \\ \ge |\varphi(w)|-|\varphi(w-w_n)|-\epsilon\|v\|_1 \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\|\varphi\|_*|w-w_n|_1-\epsilon\|v\|_1 \\ \ge \|\varphi\|_*-\epsilon-\epsilon\|\varphi\|_*-\epsilon\|v\|_1= \|\varphi\|_*-\epsilon(1+\|\varphi\|_*+\|v\|_1) $$ और यह सभी के लिए सच है $\epsilon>0$, जिसका तात्पर्य है $\|v\|_\infty\ge\|\varphi\|_*$।