सिद्ध करें कि जंजीर सबसेट के अनुक्रम में, प्रतिच्छेदन परिमित और गैर-रिक्त है
शीर्षक केवल एक सरलीकृत संस्करण है। वर्तमान में, मैं अंडरस्टैंडिंग एनालिसिस पढ़ रहा हूं और पूर्वाग्रहों पर काम कर रहा हूं। सवाल यह है की:
अगर $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ सभी परिमित, वास्तविक संख्या के गैर-रिक्त सेट हैं, फिर प्रतिच्छेदन $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ परिमित और गैर-रिक्त है।
इस बिंदु पर पुस्तक ने औपचारिक रूप से परिमित परिभाषित नहीं किया है। इसके अलावा, केवल संकेत, मेरी राय में, पुस्तक द्वारा की पेशकश की निम्नलिखित प्रश्न है,
अगर $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ सभी सेट अनंत तत्वों से युक्त होते हैं, फिर प्रतिच्छेदन $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ साथ ही अनंत है।
इस प्रश्न और उपर्युक्त उदाहरण के साथ, मैं सेट को परिभाषित करके इस समस्या को हल कर सकता हूं $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ और विरोधाभास द्वारा एक सबूत।
हालांकि, जब यह आता है $A_i$ परिमित तत्वों से युक्त, मैं अभी कैसे नहीं है
- परिभाषा द्वारा सिद्ध करें
- अंतर्ज्ञान को समझें कि अनंत संस्करण की तरह एक काउंटर उदाहरण नहीं मिल सकता है
जवाब
एक तरीका यह है कि सकारात्मक पूर्णांकों के घटते क्रम को ध्यान में रखते हुए, इस मामले में सेट की कार्डिनैलिटी $A_k$, आखिरकार स्थिर होना चाहिए। के लिये$k\in\Bbb Z^+$ चलो $n_k=|A_k|$में तत्वों की संख्या $A_k$; $n_k$एक सकारात्मक पूर्णांक है। चलो$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ सकारात्मक पूर्णांकों का एक गैर-खाली सेट है, इसलिए इसमें एक छोटा तत्व है $m$। चलो$\ell\in\Bbb Z^+$ ऐसा हो $n_\ell=m$।
$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, तोह फिर $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$। परंतु$m=\min N$, तोह फिर $n_{\ell+1}\ge m$, और इसीलिए $n_{\ell+1}=m$। इस प्रकार,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ तथा $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , तोह फिर $A_{\ell+1}=A_\ell$। आप इस विचार का उपयोग प्रेरण द्वारा सिद्ध करने के लिए कर सकते हैं$A_k=A_\ell$ हर एक के लिए $k\ge\ell$। तब आप लगभग हो चुके हैं।$A_k\supseteq A_\ell$ के लिये $k=1,\ldots,\ell$, तथा $A_k=A_\ell$ के लिये $k>\ell$, तोह फिर
$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$