स्पष्ट रूप से एक प्रणाली का पता लगाना
विचार करें कि हम आधार के साथ सिस्टम ए से बना एक संयुक्त प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं $|\alpha_j\rangle$ और आधार के साथ सिस्टम बी $|\beta_j\rangle$।
मेरे नोट्स में घनत्व ऑपरेटर निम्नानुसार दर्शाया गया है:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
जिससे मेरे नोट्स कहते हैं कि $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
वे ए के ट्रेस और बी के निशान के लिए निम्नलिखित समीकरण भी बताते हैं: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
मेरा मुख्य सवाल यह है कि कोई कैसे लिखेगा $\rho_{j,l,k,l}$ तथा $\rho_{j,l,j,m}$ मुझे अपनी पुस्तक में काम के उदाहरण से सहमत नहीं प्रतीत होता है और इसलिए मैं काफी भ्रमित हूं।
धन्यवाद
जवाब
ठीक है, क्योंकि अगर मैं इसे स्वयं करता तो मैं इसे इस प्रकार लिखता: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ हालाँकि मैं अनिश्चित हूँ क्योंकि मैंने जिन उदाहरणों को देखा है, वे निम्नलिखित सुझाव देते हैं $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $।
ऐसा लगता है कि आप राज्यों के एक टेंसर उत्पाद के विचार को गलत समझ रहे हैं, इसलिए मैं संक्षेप में इसकी समीक्षा करूंगा। लश्कर$\mathcal H_A$ तथा $\mathcal H_B$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान हो, और चलो $\alpha \in \mathcal H_A$ तथा $\beta \in \mathcal H_B$। के टेनर उत्पाद$\alpha$ तथा $\beta$ आदेशित जोड़ी है $(\alpha,\beta)$ जिसके निम्नलिखित गुण हैं:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ सबके लिए $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ सबके लिए $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ सबके लिए $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
लिखने के बजाय $(\alpha,\beta)$ दसियों उत्पाद के लिए, यह लिखने के लिए मानक अंकन है $\alpha \otimes \beta$।
हिल्बर्ट रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद $\mathcal H_A$ तथा $\mathcal H_B$ फॉर्म के सभी टेंसर उत्पादों का स्थान है $\alpha\otimes \beta$ साथ में $\alpha\in\mathcal H_A$ तथा $\beta \in \mathcal H_B$, और उसके सभी रैखिक संयोजन । इस स्थान पर आंतरिक उत्पाद को लिया जाता है
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
इसलिए, एक तत्व $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ लग सकता है
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
यह परिभाषा से स्पष्ट है कि $\alpha$ तथा $\gamma$ के संबंधित $\mathcal H_A$ जबकि $\beta$ तथा $\delta$ के संबंधित $\mathcal H_B$। मानक सम्मेलन के अनुसार, हम प्रतीक का पुन: उपयोग करते हैं$\otimes$ और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के दसियों उत्पाद को निरूपित करते हैं $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$।
यदि आप डिराक संकेतन के साथ काम करना चाहते हैं, तो आप कुछ ऐसा लिख सकते हैं $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$। संगत ब्रा होगी$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$। अगर हम दें$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, फिर
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
सम्मेलन यह है कि चाहे आप ब्रा या केट के बारे में बात कर रहे हों, टेनर उत्पाद में पहली मात्रा किस की है $\mathcal H_A$ (या इसकी दोहरी जगह) और दूसरा संबंधित है $\mathcal H_B$ (या इसका दोहरा स्थान)।
कहा जा रहा है कि सभी के साथ, आपकी अभिव्यक्ति
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
मुझे इससे कोई मतलब नहीं है, क्योंकि दायीं ओर का टेनर उत्पाद केट गलत क्रम में है।
सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जिस तरह से आप समझते हैं $\rho_{ijk\ell}$और सबसे पहले एक सम्मेलन का विषय है। उस ने कहा, कुछ सम्मेलनों निश्चित रूप से दूसरों की तुलना में अधिक "प्राकृतिक" हैं।
इसके बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि मैट्रिक्स के घटक $\rho$ एक समग्र स्थान में $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$इसके अलावा कुछ भी नहीं हैं: कुछ जगह में मैट्रिक्स घटक। यदि आप सूचकांकों का उपयोग करते हैं$I,J$ के आधार के तत्वों को लेबल करने के लिए $\mathcal H$, आप मैट्रिक्स घटकों को इस प्रकार लिख सकते हैं $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ हालांकि, इस अंकन में द्विदलीय संरचना का ध्यान नहीं रखा गया है $\mathcal H$। ऐसा करने के लिए, हम मानते हैं कि हम हमेशा एक आधार पा सकते हैं$\mathcal H$ के आधार से बनाया गया है $\mathcal X$ तथा $\mathcal Y$। हम इस प्रकार के आधार तत्वों को लेबल कर सकते हैं$\mathcal H$दो सूचकांकों का उपयोग करते हुए, इसी आधार तत्वों को दर्शाते हैं$\mathcal X$ तथा $\mathcal Y$। दूसरे शब्दों में, हम लिख सकते हैं$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ फिर, एक सूचकांक के बजाय $I$, हम कहते हैं, सूचकांकों की एक जोड़ी का उपयोग करें $(i,j)$। के मैट्रिक्स तत्व$\rho$ तब बन जाते हैं $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$जहाँ मैं अभिव्यक्ति लिखने के लिए अलग-अलग समान तरीकों को शामिल कर रहा हूँ। ध्यान दें कि मैंने "इनपुट" और "आउटपुट" सूचकांकों को लिखा था$\rho$ जोड़े का उपयोग करना $(i,j)$ तथा $(k,\ell)$यहां सूचकांकों की विभिन्न भूमिकाओं पर जोर दिया गया है। संक्षिप्तता के लिए, एक आमतौर पर ऐसा नहीं करता है, और बस लिखता है$\rho_{ijk\ell}$ का मतलब $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$।
अब, आप उपयोग करने का निर्णय भी ले सकते हैं $\rho_{ijk\ell}$ जैसे कुछ मतलब है $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$। हालांकि यह काफी अजीब संकेतन होगा।