ऊपरी दीनी व्युत्पन्न के साथ लगातार कार्य 0 से अधिक तात्पर्य फ़ंक्शन बढ़ रहा है
लश्कर $f$ निरंतर रहो $[a,b]$ साथ में $\bar D f \geq 0$ (अपर दीनी व्युत्पन्न $f$) पर $(a,b)$। वो दिखाओ$f$ बढ़ता जा रहा है $[a,b]$। संकेत: दिखाएँ यह सच है$g$ साथ में $\bar D g \geq \epsilon > 0$ पर $[a,b]$। इसे फंक्शन में अप्लाई करें$g(x) = f(x) + \epsilon x$।
यह रोयडेन-फिट्जपैट्रिक विश्लेषण 4 वें संस्करण के अध्याय 6.2 से प्रश्न 19 है।
मेरा दृष्टिकोण इस प्रकार है
- $g$ यह निरंतर है क्योंकि यह 2 निरंतर कार्यों का रैखिक संयोजन है।
- $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ जिसका मतलब है $g$ सख्ती बढ़ रही है $(a,b)$।
- $f = g - \epsilon x$ तथा $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ का तात्पर्य $f$ बढ़ रहा है (यह घट नहीं रहा है) $(a,b)$।
क्या इस का कोई मतलब निकलता है? किसी भी मदद के लिए धन्यवाद। प्रश्न कंटीन्यूअस फंक्शन पर भी संबंधित है$[a, b]$ बाउंड ऊपरी और निचले डेरिवेटिव के साथ $(a, b)$ लिप्सचित्ज़ है।
जवाब
तुम्हें कैसे पता $2$रखती है? वास्तव में, यह प्रमाण का सार है, जब तक कि मैं आपके प्रश्न को गलत नहीं कर रहा हूं, आपको थोड़ा सा काम करने की आवश्यकता है। (चित्र बनाने में मदद मिलेगी!) पहले मान लीजिए कि$\bar D f >0$ पर $(a,b)$। अगर वहाँ$a<c<d<b$ ऐसा है कि $f(c)>f(d)$ तो हम चुन सकते हैं $f(c)>\mu>f(d)$। लश्कर$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ और विचार करें $\xi=\sup S.$ ध्यान दें कि $c<\xi<d$। एक बढ़ते क्रम को लें$(t_n)\subseteq (c,d)$ ऐसा है कि $t_n\to \xi.$ फिर, $f(t_n)\to f(\xi)$। अगर$f(\xi)\neq \mu$ तो वहाँ एक है $\mu<\alpha<f(\xi)$। की निरंतरता$f$ अब तात्पर्य है कि एक अंतराल है $I=(\xi,\xi+\delta)$ ऐसा है कि $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$। लेकिन यह की परिभाषा के विपरीत है$\xi.$ इस प्रकार, $f(\xi)= \mu.$
हमने दिखाया है कि प्रत्येक के लिए $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $ D^+ f(\xi)\le 0$, जो एक विरोधाभास है। इस प्रकार, दावा सख्त असमानता के लिए सच है और$now$ हम परिभाषित करते हैं $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$। यह इस प्रकार है कि$\bar D g_{\epsilon} >0$ पर $(a,b)$ इसलिए $g_{\epsilon}$ गैर घट रहा है वहाँ, और के रूप में $\epsilon$ मनमाना है, $f$ गैर-घटती भी है।