वो दिखाओ $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [बंद किया हुआ]

Question

क्या कोई मुझे संकेत दे सकता है कि मैं कैसे दिखाऊं $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

मुझे पता है कि दोनों को अलग-अलग कैसे करना है, लेकिन यह सवाल उनके मूल्यांकन के दूसरे तरीके की ओर जाता है और इसके लिए पहले दिखाया जाना चाहिए। जैसे कि मैं अभिन्न को जोड़-तोड़ कर समानता दिखाना चाहता हूं क्योंकि दोनों अलग-अलग मूल्यांकन करने के बजाय प्रश्न का इरादा है।

मैंने दोनों पक्षों के साथ काम करने की कोशिश की है और मुझे लगता है कि मुझे एक चाल याद आ रही है। भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करना भाजक की शक्ति को बढ़ाता है और कोई अच्छा रद्द नहीं होता है (एक असंबंधित कमी सूत्र को छोड़कर)। एक महान प्रतिस्थापन भी नहीं देख सकता।

Answer 1

ध्यान दें कि प्रतिस्थापन को लागू करने से $x\mapsto 1/x$, हम ढूंढे

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

और हम कर रहे हैं!

Answer 2

मूल रूप से आप यह साबित करना चाहते हैं

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

में अभिन्न पर विचार करें $(1,\infty)$मध्यान्तर। चरों के परिवर्तन को लागू करना$y = 1/x$ हमें मिला

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

जो स्पष्ट रूप से सच है।