यदि हम एक छोटे से संभावित कदम को middel में डालते हैं, तो एक अनंत वर्ग कुएं में सीमाओं की ऊर्जा के साथ क्या होता है?
मैं सोच रहा हूं कि कैसे (गुणात्मक रूप से) एक अनंत वर्ग में बाउंड्स की ऊर्जाओं को बीच में एक छोटे संभावित कदम के साथ बदल दिया जाता है अगर हम उस संभावित कदम को बदलते हैं। समस्या वास्तव में इस पोस्ट के समान है , लेकिन मैं विशेष रूप से जानना चाहता हूं कि ऊर्जाओं के बीच अंतराल कैसे बदलती है, अगर हम ऊंचाई या संभावित कदम की चौड़ाई को बदलते हैं।
मैंने समय की स्वतंत्र समस्या को हल करके ऊर्जाओं के लिए एक सूत्र खोजने की कोशिश की, लेकिन एक स्पष्ट समाधान नहीं मिल सका (यह एक ट्रान्सेंडैंटल समीकरण की तरह लग रहा था लेकिन मैंने कुछ गलतियाँ की हैं)।
जवाब
इस प्रणाली की ऊर्जाओं को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से एक ट्रान्सेंडैंटल समीकरण को हल करना शामिल है, यदि स्मृति कार्य करती है। इसमें कुछ भी गलत नहीं है, लेकिन परिणाम पर विभिन्न मापदंडों के प्रभावों को स्पष्ट रूप से देखना थोड़ा मुश्किल हो सकता है।
एक अलग दृष्टिकोण इस समस्या का इलाज गड़बड़ी सिद्धांत के साथ है। चूंकि आप मान रहे हैं कि कदम की ऊंचाई छोटी है$^\dagger$, एक अच्छी शुरुआत ऊर्जा eigenvalues के लिए पहले आदेश सुधार की गणना करने के लिए किया जाएगा।
स्पष्ट रूप से, अपने हैमिल्टन को रहने दो $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$
चौड़ाई के संभावित चरण के साथ अनंत क्षमता वाले कुएं के लिए यह हैमिल्टन है $a$ और ऊंचाई $\lambda$बीच में। में पहला आदेश देने के लिए$\lambda$, सही ऊर्जा बस हैं $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ कहां है $E_n^{(0)}$ तथा $\psi_n^{(0)}$क्रमशः अनिर्दिष्ट ऊर्जाएँ और (सामान्यीकृत) आइगेनवेक्टर हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि वे अनंत क्षमता के प्राथमिक समाधान में से क्या हैं, इसलिए उस अभिन्न मूल्यांकन से आप देख सकते हैं कि जब आप कदम शुरू करते हैं तो उन ऊर्जाओं में परिवर्तन कैसे होगा - कम से कम जब तक कदम ऊंचाई छोटा है।
$^\dagger$छोटे होने के लिए ऑपरेटर के लिए इसका क्या मतलब है यह एक सूक्ष्म मुद्दा हो सकता है। इस मामले में, हम यही चाहते हैं$\lambda$ब्याज की किसी भी स्थिति में अप्रभावित हैमिल्टन के अपेक्षित मूल्य से बहुत छोटा हो। इस मामले में, कि अगर पूरा किया जाएगा
$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$
अगर $\lambda$ इस सीमा से अधिक है, तो पहले क्रम में सुधार अब इस बात का अच्छा अनुमान नहीं होगा कि ऊर्जा कैसे बदल गई होगी।