यह दिखाने के लिए कि अभिन्न $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ धर्मान्तरित और की तुलना में कम या बराबर है $n^{3/2}\pi$ [डुप्लीकेट]
एक बहुपद पर विचार करें $p \in \mathbb{R}[x]$ की डिग्री $n$और कोई वास्तविक जड़ों के साथ। साबित करो$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$धर्मान्तरित, और की तुलना में कम या बराबर है $n^{3/2}\pi$
मेरा दृष्टिकोण
अब छोडो $x_1, x_2, \dots, x_n$ की जड़ हो $p$। कॉची-श्वार्ज़ द्वारा
$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$
मुझे नहीं पता कि आगे क्या करना है। यदि मैं गलत हूं तो कृपया उत्तर अनुभाग में एक विस्तृत उत्तर प्रदान करें। मैंने दिखाया है कि मैंने क्या सोचा है या मैंने क्या किया है।
अगर मेरी विचार प्रक्रिया सही है तो क्या कोई पुष्टि कर सकता है?
बस एक अनुस्मारक ... यह सवाल लंबे समय से अनुत्तरित पड़ा हुआ है
धन्यवाद।
जवाब
सबसे पहले, हम परिभाषित कर सकते हैं: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$
अब बहुराष्ट्रीय प्रमेय द्वारा: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ इससे आप के लिए एक अभिव्यक्ति के साथ आने में सक्षम होना चाहिए: $p_n^2$ तथा $p_n'^2$।
अब इस बात पर भी ध्यान दें कि जो कुछ हम जानते हैं उससे (वास्तविक जड़ें न होने के कारण): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ हम वह जानते हैं: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ और इसलिए यह स्पष्ट है कि: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$