यही वजह है कि $R_t$ (या $R_0$) और कोविद -19 विस्तार को मापने के लिए दर या समय दोगुना नहीं है?
मेरे सिर में, विभिन्न आकारों की आबादी में महामारी के विस्तार की गति को मापने का प्राकृतिक तरीका बस हाल ही में संक्रमण संख्या (किसी भी रणनीति के साथ) पर एक घातांक फिटिंग है, एक पैरामीटर प्राप्त करना $C$ के लिये $I(t) \approx e^{Ct}$। यह उपयोगी व्यावहारिक जानकारी देता है जैसे दोहरीकरण समय।
मैं जो समझता हूं, उससे प्रभावी प्रजनन संख्या है $R_t$ एक मात्रा है जो संबंधित है लेकिन उसके बराबर नहीं है $C$। वास्तव में, कुछ सरल मॉडल में $C$ का एक कार्य है $R_t$ और औसत संक्रामक अवधि की $\tau$। (जो समझ में आता है, जैसा है$R_t$ एक आयामहीन इकाई है और दो अलग-अलग महामारियों के लिए समान होगी जो केवल एक ही समय पर एक दूसरे से प्राप्त होती हैं)।
मतलब संक्रामक समय $\tau$एक मात्रा है जिसे सीधे डेटा से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, और इसे बाहरी पैरामीटर के रूप में प्रदान किया जाना चाहिए। यह पैरामीटर अपने आप में अनुमान लगाने के लिए तुच्छ नहीं है; उदाहरण के लिए इस पत्र का सार एक अनुमान देता है$6.5 - 9.5$ कोविद -19 के लिए दिन।
के बीच का सच्चा रिश्ता $R_t$ तथा $C$ शायद और भी अधिक जटिल है क्योंकि यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि इन संक्रमणों को संक्रामक अवधि में कैसे वितरित किया जाता है।
सहज, अनुमान लगाने में कठिनाई $\tau$ में प्रतिबिंबित करना चाहिए $R_t$ की तुलना में एक बड़ी त्रुटि है $C$। वास्तव में, मैंने मीडिया में कुछ अनुमानों को देखा है$R_t$हास्यास्पद रूप से बड़े आत्मविश्वास के अंतराल के साथ; उदाहरण के लिए 4M निवासियों के साथ एक इतालवी क्षेत्र के लिए यह एक इतालवी समाचार पत्र ने अपनी वेबसाइट पर प्रकाशित किया था।
तो, यहाँ मेरा सवाल है: यह उपयोग करने के लिए सरल और अधिक उपयोगी नहीं होगा$C$(या, समतुल्य, दोहरीकरण समय) एक महामारी के विस्तार की गति के उपाय के रूप में? यह मात्रा शायद अनुमान लगाने के लिए अधिक विश्वसनीय होगी, क्योंकि यह बाहरी मानकों जैसे कि निर्भर नहीं करती है$\tau$।
$R_t$ संपत्ति है कि एक महामारी फैल रही है अगर यह से बड़ा है $1$, और यदि यह से छोटा है, तो अनुबंध करना $1$; $C$ के पास समान संपत्ति है $0$विवेकशील मूल्य होना। इसलिए एक आसान संदर्भ मूल्य देने के दृष्टिकोण से दोनों समान रूप से प्रभावी हैं।
तो कई सरकारें और राज्य एजेंसियां नियमित रूप से रिपोर्ट क्यों करती हैं $R_t$ दर के बजाय $C$उनके मुख्य उपाय के रूप में, और इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करें कि उपायों को कब लागू किया जाना है? क्या यह दोहरीकरण समय की तुलना में अधिक उपयोगी है?
जवाब
विस्तार की दर को जानना उपयोगी है, लेकिन इसका लाभ $R_t$ यह है कि - हालांकि मापने के लिए और अधिक कठिन है - यह संचरण प्रक्रिया का अधिक यंत्रवत विवरण प्रदान करता है, और इसलिए यह रोग नियंत्रण के दृष्टिकोण से अधिक उपयोगी है। $R_t$ के रूप में तैयार किया जा सकता है
$R_t=cp\tau S$,
कहाँ
$c$ वह दर है जिस पर एक विशिष्ट व्यक्ति दूसरों के साथ संपर्क बनाता है
$p$ किसी संपर्क व्यक्ति को संचरण की संभावना है यदि वह व्यक्ति अतिसंवेदनशील है
$\tau$ मतलब संक्रामक अवधि है
$S$ अतिसंवेदनशील जनसंख्या का अनुपात है।
तो अगर $R_t$ फिलहाल यह $2$, कहते हैं, तो प्राप्त करने के लिए $R_t<1$ हम या तो कम कर सकते हैं $cp$ (सोशल डिस्टन्सिंग), $\tau$ (अलग-अलग संक्रामक व्यक्तियों), या $S$ (टीकाकरण) जैसे कि टीकाकरण से अधिक $50\%$ वर्तमान में अतिसंवेदनशील जनसंख्या नियंत्रण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होगी।
ओपी के सुझाव के अनुसार, यहां एक उत्तर के रूप में मेरी टिप्पणी है:
मुझे लगता है कि समय में जब होगा $R\approx1$(उदाहरण के लिए जर्मनी में लेखन के समय, नवंबर 2020), दोहरीकरण का समय अनंत के बारे में है, क्योंकि स्थिति स्थिर है। बेशक, जब$R$ 1 से थोड़ा ऊपर है, जो अब सच नहीं है, लेकिन इसमें बहुत छोटे बदलाव हैं $R$ दोहरीकरण के समय में बहुत बड़े परिवर्तन होने चाहिए, जो महामारी की स्थिति में परिवर्तनों को संप्रेषित करने का एक बहुत प्रभावी तरीका नहीं हो सकता है।
दरअसल, महामारी रिपोर्टिंग की पहली लहर के दौरान अक्सर दोहरीकरण समय के माध्यम से होता है, जो कि हालांकि पहली लहर के नियंत्रण में आने पर खारिज कर दिया गया था। यहाँ इस कदम (जर्मन में) पर टिप्पणी करने वाला एक स्रोत है।
प्रजनन संख्या के बीच संबंध $R(t)$ और विकास दर $C(t)$
विकास दर $C(t)$ और यह $R(t)$ बहुत संबंधित हैं।
$C(t)$समय की प्रति यूनिट विकास दर है। यह इंगित करता है कि संक्रमण कितनी तेजी से गुणा करता है।
(दोगुना समय विकास दर से संबंधित है उलटा के रूप में देखें: संक्रमण के लिए दोहरीकरण दर की गणना कैसे करें? )
$R(t)$वह कारक है जिसके द्वारा प्रत्येक पीढ़ी गुणा करती है। यह इंगित करता है कि प्रत्येक संक्रमित व्यक्ति के लिए कितने नए संक्रमण होते हैं।
प्रजनन दर $R$यह बताता है कि संक्रमण किस कारक से प्रत्येक चरण को गुणा करता है। लेकिन यह सिर्फ अलग-अलग इकाइयों (प्रति समय के बजाय प्रति पीढ़ी) के साथ वृद्धि की दर नहीं है क्योंकि एक साथ संक्रमित लोग मर जाएंगे या मर जाएंगे और शुद्ध विकास को उन दो प्रभावों के लिए एक साथ खाते की आवश्यकता है।
इसलिए $R(t)$विकास दर की तुलना में थोड़ा अलग कहानी बताता है। एसआईआर कम्पार्टमेंट मॉडल के संदर्भ में आप दो दरों पर विचार कर सकते हैं:$\beta$ वह दर जिसके द्वारा नए संक्रमण होते हैं, और $\gamma$वह दर जिसके द्वारा संक्रमण गायब हो जाते हैं (उपचार या मृत्यु के कारण)। (शुद्ध) विकास दर इन दोनों का अंतर है$C= \beta -\gamma$। प्रजनन दर इन दोनों का अनुपात है$R = \beta/\gamma$।
नीचे दी गई छवि में आप वृद्धि के लिए एक योजनाबद्ध देखते हैं। नोड्स संक्रमित लोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं और प्रत्येक नोड से, हम उन लोगों के लिए लाइनें खींचते हैं जो अगले संक्रमित होंगे। इस उदाहरण में, प्रत्येक संक्रमित व्यक्ति दो नए लोगों को संक्रमित करेगा।
प्रजनन दर $R(t)$प्रत्येक नोड के लिए लिंक की संख्या है। यह एक श्रृंखला प्रतिक्रिया में गुणन कारक का प्रतिनिधित्व करता है।
विकास दर $C(t)$ (यह वक्र समय में कितनी तेजी से बढ़ता है) प्रत्येक पीढ़ी के बीच के समय पर निर्भर करेगा।
यदि आप जानते हैं $C(t)$, तो आप अभी तक चेन रिएक्शन की अंतर्निहित संरचना को नहीं जानते हैं। श्रृंखला प्रतिक्रिया की यह संरचना (संक्षेप / सरल द्वारा$R(t)$) प्रसार के तंत्र और गतिशीलता को समझने में आवश्यक हो सकता है (और यह कैसे टीकाकरण / प्रतिरक्षा या सामाजिक गड़बड़ी जैसे पर्यावरणीय परिवर्तनों के प्रति प्रतिक्रिया करता है)।
यदि आप जानते हैं $\tau$संक्रमणों के बीच का समय (जिसे अलग तरह से देखा जा सकता है जैसे सीरियल अंतराल या पीढ़ी अंतराल) तो आप विकास दर की प्रजनन संख्या से संबंधित हो सकते हैं
$$ C(t) = \frac{R(t)-1}{ \tau }$$
या
$$ R(t) = 1 + C(t) \tau$$
अधिक जटिल मॉडल के लिए अन्य संबंध संभव हैं। मुख्य रूप से मुद्दा यह है कि आपको स्केल फैक्टर द्वारा साधारण अंतर नहीं मिलता है$C(t) = \frac{R(t)}{ \tau }$। $-1$ कार्यकाल इसलिए होता है क्योंकि आपके पास न केवल विकास / प्रजनन होता है, बल्कि लोगों के बेहतर होने या मरने के कारण भी घटता है।
एक मानक कार्य जो यह बताता है कि विकास दर और प्रजनन संख्या का संबंध कैसे है " प्रोक बायोल साइंस में वॉलिंगा और लिप्सीच से" कैसे पीढ़ी अंतराल विकास दर और प्रजनन संख्या के बीच संबंध को आकार देता है " । 22-02-2007 वॉल्यूम 274: 1609 )। वे पीढ़ी अंतराल वितरण और पल पैदा करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग करके प्रजनन संख्या और विकास दर से संबंधित हैं$M(s)$ इस वितरण को समाप्त करने के लिए
$$R(t) = \frac{1}{M(-C(t))}$$
और उदाहरण के लिए, एक गामा वितरण के साथ $M(s) = (1-s \frac{\mu_{\tau}}{k} )^{-k}$ तथा
$$R(t) = \left( 1+ C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k}\right)^{k} = 1 + C(t) \mu_{\tau} + \sum_{n=2}^\infty {k\choose n} \left(C(t) \frac{\mu_{\tau}}{k} \right)^n$$
जो बराबर है $ R(t) = 1 + C(t) \tau$ अगर $k = 1$ और लगभग बराबर (पहले आदेश तक) जब होगा $|C(t)|\frac{\mu_{\tau}}{k} \ll 1$। (ग्राफ में पीढ़ी अंतराल वास्तव में एक पतित वितरण है और आप के साथ समाप्त होता है$R = e^{\tau C(t)}$ के बजाय $ R(t) = 1 + C(t) \tau$)
क्यों $R(t)$ उपयोगी है
$R(t)$ श्रृंखला प्रतिक्रिया से संबंधित है
$R(t)$ मूल्य महत्वपूर्ण है क्योंकि यह श्रृंखला प्रतिक्रिया के संदर्भ में विकास के अंतर्निहित गुणात्मक तंत्र के करीब है।
यदि प्रत्येक घटना 1 से ऊपर के अनुपात में कई नई घटनाओं का कारण बनती है, तो यह श्रृंखला प्रतिक्रिया बढ़ जाती है, यदि संक्रमण को भंग करने (स्नोबॉल प्रभाव बनाने) की तुलना में अधिक संक्रमण पैदा हो रहे हैं। जब प्रत्येक घटना एक से कम नई घटनाओं का कारण बनती है तो प्रतिक्रिया कम हो जाती है।
के रूप में $\beta$ (नए संक्रमित लोगों की दर) और $\gamma$ (संक्रमित लोगों के उपचार या मरने की दर) जब आपको वृद्धि मिलती है $\beta > \gamma$। प्रजनन दर$R = \beta / \gamma$ में परिवर्तन से सीधे संबंधित है $\beta$(जो टीकाकरण / टीकाकरण या सामाजिक गड़बड़ी के कारण बदल सकता है)। अगर$\beta$ एक निश्चित कारक द्वारा तब परिवर्तन $R$एक ही कारक द्वारा परिवर्तन। विकास दर के लिए$C= \beta-\gamma$ यह सीधे कम स्पष्ट है कि प्रभाव कब होगा $\beta$ परिवर्तन।
उदाहरण के लिए यदि $\beta$ आधे से कम हो जाता है तो यह विकास दर में बदलाव का प्रतिनिधित्व कर सकता है $C=\beta-\gamma$ से $3 = 4-1$ सेवा $1 = 2-1$, या यह सिर्फ विकास दर के बदलाव का प्रतिनिधित्व कर सकता है $3=9-6$ सेवा $-1.5=4.5-6$। इसमें स्वयं की वृद्धि दर रिश्तेदार परिवर्तनों के बीच सीधा संबंध बनाने की अनुमति नहीं देती है$\beta$और यह विकास दर को कैसे प्रभावित करता है। दूसरी ओर, प्रजनन दर$R =\beta/\gamma$ उन स्थितियों में परिवर्तन $4$ सेवा $2$ या से $1.5$ सेवा $0.75$ और अधिक स्पष्ट रूप से व्यक्त करता है कि यदि श्रृंखला में परिवर्तन (जो बनाम विकास होता है) की प्रतिक्रिया क्या होगी (जो अधिक नियंत्रित होती है) $\beta$) का है।
प्रजनन दर के साथ, जिसे आप श्रृंखला प्रतिक्रिया में गुणन कारक के रूप में देख सकते हैं, हम बेहतर जानते हैं कि वायरस की गतिशीलता में परिवर्तन के संदर्भ में प्रवर्धन कैसे बदलता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रजनन दर 2 है और उपायों के कारण (या अधिक लोगों के प्रतिरक्षात्मक होने के कारण) दर आधी हो जाती है तो प्रजनन 1 हो जाएगा और श्रृंखला प्रतिक्रिया निष्प्रभावी हो जाएगी।
विकास दर $C$आपको यह नहीं बताता कि विकास को कम करने के लिए विकास को बदलने के लिए आपको किस कारक को प्रसार (गुणन कारक) को कम करना है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विकास दर में अंतर्निहित श्रृंखला प्रतिक्रिया में गुणन कारक के बारे में जानकारी नहीं होती है।
इसलिए विकास दर एक अधिक प्राकृतिक वर्णनकर्ता है जो बताता है कि वायरस कैसे फैलता है। यह एक संकेत है कि प्रत्येक पीढ़ी में प्रसार की दर कितनी है।
झुंड प्रतिरक्षा की गणना
उदाहरण के लिए एक सीधा अनुप्रयोग प्रतिरक्षा के स्तर की गणना के उपयोग के लिए है जो कि यादृच्छिक प्रतिरक्षण (टीकाकरण) के माध्यम से झुंड की प्रतिरक्षा तक पहुंचने के लिए आवश्यक है।
महामारी विज्ञान वक्र का भविष्य विकास
एक अन्य उपयोगी प्रभाव यह है कि प्रजनन दर यह निर्धारित करने में वृद्धि दर से बेहतर संकेतक है कि फैलने से पहले कितने लोग संक्रमित हो जाएंगे। ग्राफ़ में आप देखते हैं कि वायरस प्रत्येक कारक 2 के साथ प्रजनन करता है लेकिन यह धीमा हो जाएगा क्योंकि अन्य लोग प्रतिरक्षा प्राप्त करते हैं (और वायरस पर पारित करने के लिए कम लोग होंगे, गुणन घट जाएगा)।
यह इस प्रश्न से नीचे की छवि में चित्रित किया गया है जिसने खोजने के क्रम में विकास घटता को फिट करने की कोशिश की$R(0)$लेकिन एक अच्छा फिट होने में परेशानी थी। फिटिंग में समस्या का एक कारण यह है कि आप विभिन्न मूल्यों के लिए समान विकास दर रख सकते हैं$R(0)$। लेकिन छवि में आप यह भी देखते हैं कि आगे समय में$R(0)$ मूल्य महामारी विज्ञान वक्र पर एक मजबूत प्रभाव है।
धीमा पहले होता है जब $R(t)$1 के करीब है (जब यह 1 के करीब होता है तो इसे 1 या नीचे के बराबर पाने के लिए अपेक्षाकृत कम छोड़ने की आवश्यकता होती है)। विकास दर इस बात का कोई संकेत नहीं है कि प्रजनन / गुणन दर कितनी करीब है। 1. वैकल्पिक रूप से आप इसे इस तरह से देख सकते हैं: क्योंकि वृद्धि दर संबंधित है$C(t) \propto R(t) -1$प्रजनन दर को कम करने $R(t)$ कुछ कारक द्वारा एक अलग कारक द्वारा विकास दर को कम किया जाएगा।
वैकल्पिक माप इसके अलावा, ए$R(t)$ मूल्य की गणना या तो अन्य महामारी विज्ञान मापदंडों (संपर्क दरों और ऐसी चीजों) के आधार पर की जा सकती है, या संपर्क ट्रेसिंग पर डेटा द्वारा 'क्षेत्र में' मापा जा सकता है।
क्यों $R(t)$ इतना उपयोगी नहीं है
$R(t)$मूल्य एक अत्यधिक सरलीकृत उपाय है। अधिकांश मॉडलों में, यह एक औसत प्रजनन का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन वास्तविकता यह है कि इसमें अमानवीयता है और इसके संबंध में किए गए निष्कर्षों पर एक बड़ा प्रभाव हो सकता है$R(t)$ (उन्हीं तर्कों पर लागू होता है $C(t)$) का है।
- उदाहरण के लिए, जनसंख्या को स्थानीय रूप से भिन्न के मिश्रण के रूप में देखें $R(t)$मान। इस मामले में दो के एक कारक द्वारा प्रसार की दर को नीचे लाने से औसत नीचे नहीं आएगा$R(t)$2 से 1. तक अपेक्षाकृत उच्च स्थानीय प्रजनन दर वाले क्षेत्रों का कुछ बफ़रिंग प्रभाव होगा जहाँ प्रसार जारी रहेगा। तो, हम जो उपाय करते हैं, वे अटक जाते हैं$R(t) \approx 1$। (यहां संबंधित प्रभाव भी चर्चा की गई है )
- एक अन्य प्रभाव यह है कि झुंड की प्रतिरक्षा के लिए गणना सही नहीं है क्योंकि अस्वाभाविकता का अर्थ है कि विभिन्न स्थानों में प्रतिरक्षा का अलग-अलग प्रभाव होगा (और हमारे लिए भाग्यशाली है कि यह ठीक उन जगहों पर है जहां प्रसार अधिक मजबूत है और जहां प्रतिरक्षण तेजी से होता है, कि टीकाकरण होगा सबसे मजबूत प्रभाव)।
- इसके अलावा की संगणना $R_0$गलत हो सकता है। अक्सर वे इस धारणा पर आधारित होते हैं कि शुरुआत में$C(0) = (R_0-1)/\tau$। फिर$R_0$ के मापन के आधार पर निर्धारित किया जाता है $C(0)$ (महामारी विज्ञान घटता की प्रारंभिक विकास दर) और $\tau$(धारावाहिक अंतराल के वितरण का मतलब निर्धारित करके)। लेकिन यह झूठा मानता है कि सभी लोग शुरू से ही समान रूप से अतिसंवेदनशील होते हैं।