Apakah urutan logika predikat ini valid?

Oct 13 2020

Ini mungkin serangkaian pertanyaan terkait yang konyol dan berikut ini adalah masalah yang memicunya.

Saya diminta untuk membuktikan urutan logika predikat ini:

$\exists x[R(x) \vee S(x)] \;\;\;\;\; |- \;\;\;\;\exists x R(x) \vee \exists x S(x) $

Saya malu mengatakan saya tidak bisa membuktikannya. Saya mencoba pendekatan langsung sekaligus membuktikan dengan pendekatan kontradiksi, tidak berhasil. Dan kemudian saya sadar bahwa mungkin pertanyaannya salah. Mungkin tidak ada bukti. Tentu saja, tidak dapat membuktikan urutan tidak berarti itu tidak valid dan oleh karena itu saya bahkan tidak tahu apakah pertanyaan itu diutarakan dengan tidak benar. Jika ini adalah pertanyaan logika proposisional, dan jumlah atom proposisional cukup kecil, saya dapat membuat tabel kebenaran dan memeriksa entailment semantik. Urutan proposisional valid jika diperlukan secara semantik, dan oleh karena itu tabel kebenaran dapat membatalkannya. Namun, dengan Predicate Logic dan set pembilangnya, saya tidak memiliki pengalaman memeriksa tabel kebenaran dalam hal ini dan oleh karena itu saya bahkan tidak dapat mengetahui apakah urutannya tidak valid.

Dengan menggunakan argumen bahasa Inggris, saya dapat membatalkannya dengan membiarkan $R(x)$ berarti $x$ adalah benda kasar dan $S(x)$ berarti $x$ adalah benda halus:

Premis: Ada benda kasar seperti pasir. Kesimpulan: Ada benda halus seperti bantalan bola.

Secara proposisional, kalimat tersebut valid karena premis dan kesimpulannya benar. Namun secara logika, hal tersebut tidak valid. Keberadaan benda kasar tidak menyiratkan keberadaan benda halus. (Catatan tambahan: Yang lebih membingungkan adalah sekarang saya telah meninggalkan domain logika proposisional inti dan memasuki domain yang terasa lebih "subjektif" dan membuat frustasi)

Tetapi tidak ada "ketelitian" dalam argumen logis yang diartikulasikan dalam bahasa Inggris.

Pertanyaan:

Apakah urutan di atas valid?
Jika Anda tahu valid karena Anda membuktikannya menggunakan aturan deduksi, berhenti di sini
Jika tidak ada bukti, bagaimana Anda bisa membuktikan bahwa itu tidak valid? Apakah Anda menggunakan tabel kebenaran?

Jawaban

2 lemontree Oct 13 2020 at 19:23

Inferensi valid dan dapat diturunkan.

Secara umum, contoh kontra untuk inferensi yang tidak valid terdiri dari struktur di mana semua premisnya benar tetapi kesimpulannya salah.

Argumen Anda salah karena tidak secara tepat menunjukkan (dengan cara menyediakan model penghitung konkret) bahwa interpretasi predikat ini membatalkan urutannya, dan contoh bahasa Inggris Anda bukanlah deformalisasi yang sesuai dari pernyataan tersebut: Anda tidak bisa begitu saja menjatuhkan salah satu disjuncts di setiap kalimat. Jika$R(x)$ adalah berdiri untuk benda kasar dan $S(x)$ halus, maka argumennya adalah "Jika ada benda yang kasar atau halus, maka ada benda yang kasar atau ada yang halus".

Biasanya disarankan untuk memulai bukti deduksi alami dari bawah ke atas, melakukan aturan pengenalan mundur pada operator utama sampai Anda tidak dapat melanjutkan, lalu beralih ke atas dan turunkan dari lokasi dengan aplikasi eliminasi yang berurutan aturan sampai Anda berharap bertemu di tengah.
Dalam hal ini, kesimpulannya adalah disjungsi, tetapi mencoba pengenalan disjungsi sebagai langkah terakhir tidak akan membawa kesuksesan, karena ini akan membutuhkan bukti dari salah satu disjungsi, yang jelas tidak mungkin, karena Anda tidak dapat menyimpulkan salah satu dari dua sisi pasti, hanya disjungsi mereka. Jadi segera pergi ke atas dan mulailah membongkar tempat.

Satu-satunya premis yang diberikan kepada Anda adalah pernyataan eksistensial, jadi hal pertama yang harus dilakukan adalah eliminasi eksistensial. Eliminasi eksistensial berarti Anda mengasumsikan pernyataan terkuantifikasi untuk beberapa objek arbitrer (misalnya$a$), dapatkan beberapa kesimpulan dari asumsi ini, lalu, karena Anda tahu bahwa setidaknya ada satu objek seperti itu, Anda dapat menyimpulkan kesimpulannya dengan pasti. Kesimpulan yang ingin Anda dapatkan adalah$\exists x R(x) \lor \exists x S(x)$, jadi cobalah untuk menurunkannya dengan asumsi $R(a) \lor S(a)$:

| exists x(R(x) v S(x))
| | R(a) v S(a)
| | -----------
| | ...
| | exists x R(x) v exists x S(x)
| exists x R(x) v exists x S(x)

Hal berikutnya dari atas adalah pemisahan $R(a) \lor S(a)$. Jadi Anda melakukan eliminasi disjungsi, yang berarti Anda mengasumsikan masing-masing disjungsi, memperoleh kesimpulan yang sama dari keduanya, lalu menyimpulkan bahwa karena setidaknya salah satu dari kedua sisi tersebut berlaku, kesimpulannya pasti mengikuti. Kesimpulan untuk disimpulkan di bagian akhir, dan di dua sub-bukti, sekali lagi$\exists x R(x) \lor \exists x S(x)$: