Beberapa ledakan

Question

Misalkan saya pertimbangkan, di dalam $\mathbb{P}^6$, subvarietas $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ dan $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Saya ingin memahami apa ledakannya $\mathbb{P}^6$ sepanjang $Y,Z$. Mengikuti buku Harris 'Algebraic Geometry, saya mulai dari$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: cita-cita $Y$ aku s $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, dan karena itu saya memiliki peta rasional

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ dan $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ adalah varietas tertutup yang terkait dengan grafik $\phi$.

Sekarang saya ingin meledak $\mathbb{P}^6$ sepanjang $Z$, jadi saya kira saya perlu belajar

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

dan di sini saya punya beberapa pertanyaan:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Saya rasa begitu karena saya mengulangi prosedur di atas, jadi saya bertanya-tanya apakah urutannya$n$-blow up misalnya hidup dalam produk kartesius $n+1$-Ruang projektif (meskipun saya jelas dapat menyematkannya melalui peta Segre);
• Bisakah saya meledak secara bersamaan $\mathbb{P}^6$ sepanjang $Y,Z$? Apakah saya mendapatkan konstruksi yang sama?
• (Terkait dengan pertanyaan di atas): apa yang terjadi jika $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Ya, Anda dapat melakukan ini - setiap kali Anda meledakkan sesuatu (secara lokal) terputus $d$ persamaan di dalamnya $X$, Anda dapat menyematkan ledakan Anda ke dalam produk $X\times\Bbb P^{d-1}$. Ini mengikuti dari deskripsi ledakan sebagai proyek relatif:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$, dan secara lokal $X$ kami mendapat perkiraan $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ yang (setelah perekatan) sesuai dengan pencelupan tertutup $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Ya jika $Y,Z$ adalah dua subkema tertutup yang terputus-putus maka semua ledakan $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ dan $Bl_{Y\cup Z} X$adalah sama. Ini dapat diverifikasi secara lokal, karena ledakan adalah isomorfisme yang jauh dari benda yang Anda ledakkan.
3. Ternyata bagian dari kesimpulan kami dari 2 berlaku setelah kami menggeneralisasi dengan tepat: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(ini Lemma IV-41 di Eisenbud dan Harris ' The Geometry of Schemes ). Perhatikan bahwa ini adalah transformasi total, bukan transformasi ketat - transformasi ketat peka terhadap pesanan. Apakah ini sama dengan atau tidak$Bl_{Y\cup Z}(X)$ mungkin harus bergantung pada bagaimana $Y$ dan $Z$ berpotongan, tetapi saya tidak memiliki contoh instruktif yang berguna saat ini, dan pada dasarnya semua teori umum untuk resolusi singularitas dikembangkan dengan asumsi ledakan di sepanjang pusat yang mulus, yang menempatkan Anda kembali ke situasi 2.