Masalah pada subruang

Question

Saya sedang belajar untuk beberapa quals dan saya ingat pernah mengalami masalah ini tahun lalu dan saya tidak bisa pergi kemana-mana. Bahkan sekarang saya agak bingung. Saya ingin tahu apakah kalian punya ide. Inilah masalahnya:

Membiarkan $ V $ menjadi ruang vektor dan biarkan $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $menjadi integer. Membiarkan$ \{V_i\} $ menjadi kumpulan $ n $-dimensi subruang $ V $ dengan properti itu $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ untuk setiap $ i\neq j $. Tunjukkan bahwa setidaknya satu dari pembekuan berikut:

(i) Semua $ V_i $ berbagi kesamaan $ (n-1) $-dimensi subruang.

(ii) Ada $ (n+1) $-dimensi subruang $ V $ mengandung semua $ V_i $.

Answer 1

Pertama mari kita tunjukkan yang berikut:

Untuk apapun $i,j,k$, jika kita punya $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ kemudian $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Catat itu $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, jadi ini adalah kandidat unik kami untuk kepentingan umum $n+1$superspace -dimensi.

Sekarang, jika $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, kita tahu bahwa ada vektor $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ yang tidak bergantung secara linier $V_j$. Tapi sejak$V_i\cap V_j$ adalah $n-1$ subruang dimensi dari $n$ruang -dimensi $V_i$, kami mengerti $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Sekarang, yang harus kita perdebatkan adalah jika $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ untuk beberapa $i_0$, lalu untuk apa saja $i$ seperti yang $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$, kita masih harus punya $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Ini mengikuti sejak $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. Jika tidak,$V_{i_0}$ akan berisi $n-1$ subruang dimensi $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ dan dengan demikian, menghitung dimensi, kami akan melakukannya $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Oleh karena itu, menerapkan sebelumnya, kami punya $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

Semua dalam semua, kami telah menetapkan yang diinginkan.