Model Hull White Extended Vasicek

Question

Saya mencoba untuk memahami formula dalam makalah penting oleh Hull & White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990). Saya tidak dapat melihat bagaimana pengaturan ulang (11) dan penerapan kondisi batas menghasilkan (13) di halaman 6 (seperti di bawah).

Tolong bisakah Anda memberi saya petunjuk dan maaf jika kalkulus dasar saya yang salah.

Answer 1

Anda benar, persamaan (11) diturunkan secara mekanis dari (7) (dengan mengambil turunan wrt ke $T$dan kemudian menggabungkan dengan (7)), dan entah bagaimana mereka berpikir bahwa (13) dapat diperoleh dari (11) tanpa mengingat (7). Mungkin dengan mengintegrasikan secara cerdas (perhatikan misalnya itu$B_tB_T - BB_{tT}$ adalah pembilang dari turunan wrt to $t$ dari pecahan $B/B_T$) dan menggunakan kondisi batas (saya tidak bisa memahaminya).

Tentu saja, yang bisa kita lakukan adalah menyelesaikan persamaan linier orde pertama di$t$ (7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

Dengan fungsi primitif biasa:

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

solusi umum untuk persamaan (7) adalah

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

dengan $c(T)$ fungsi sewenang-wenang $T$.

Sebagai $B(T,T)=0$, kita harus punya:

$$c (T)= -\beta(T).$$

Begitu:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

Kami kemudian dapat dengan mudah memeriksa bahwa solusi ini sesuai (13):

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

Edit : Perhatikan bahwa (11) dapat ditulis sebagai:

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ yang setara dengan $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

Pada titik ini kita perlu mengingat dari (7) bahwa ruas kanan adalah fungsi dari $t$ hanya, $a(t)$, jika tidak, akan merepotkan untuk maju dari sini. Solusinya adalah$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ untuk $ \gamma (T)$ fungsi sewenang-wenang $T$. Mengintegrasikan wrt ke$T$, kita mendapatkan:

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ untuk $ \eta (t)$ fungsi sewenang-wenang $t$ dan $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

Kondisi batas $B(T,T)=0$ lalu memaksa:

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

Begitu,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

Sekali lagi, catat itu

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) kemudian menyiratkan:

$$\eta(t) = \beta(t). $$