Notasi Grup Fundamental

Question

Saat ini saya sedang mengerjakan soal dalam teks Topologi Aljabar Spanier . Secara khusus, saya sedang mengerjakan Soal B4 di Bab 2, yang meminta seseorang untuk membuktikannya$\pi(S^1 \vee S^1)$ adalah nonabelian.

Sekarang, di awal teks, penulis menyatakan itu $\pi(X,x_0)$ adalah kelompok fundamental dari $X$ berdasarkan $x_0$. Jadi, pertanyaan saya adalah, apakah notasinya$\pi(S^1 \vee S^1)$ di sini hanya menunjukkan kelompok fundamental $S^1 \vee S^1$tanpa pilihan titik dasar? Secara umum adalah notasi$\pi(X)$ sering digunakan untuk sekadar mengartikan kelompok fundamental $X$? Ini masuk akal bagi saya, karena kelompok fundamental$X$ tidak bergantung pada pilihan titik dasar.

Terakhir, jika $\pi(X)$ benar-benar adalah sesuatu yang berbeda dari kelompok fundamental $X$, dapatkah seseorang menunjukkan hal itu $\pi(X)$ adalah nonabelian dengan menunjukkan bahwa kelompok fundamental dari $X$ itu nonabelian?

Terima kasih !

Answer 1

Ya, adalah hal umum untuk menghilangkan titik dasar saat mengacu pada kelompok fundamental. Ini adalah penyalahgunaan notasi, tetapi seringkali tidak berbahaya karena, seperti yang Anda sebutkan, kelompok fundamental dari ruang yang terhubung dengan jalur tidak bergantung pada pilihan titik dasar hingga isomorfisme. (Padahal, seseorang harus berhati-hati dengan ini, karena isomorfisme adalah non-kanonik ketika kelompok fundamentalnya adalah nonabelian!)

Namun, saya akan menyebutkan bahwa notasi itu $\pi(X,x_0)$ (atau $\pi(X)$) tidak umum digunakan untuk kelompok fundamental. Sebaliknya, biasanya disebut$\pi_1(X,x_0)$ (atau $\pi_1(X)$ saat titik dasar ditekan).

Answer 2

Anda tidak membutuhkan titik dasar, karena $S^1\vee S^1$adalah jalan yang terhubung. Semua kelompok fundamental pada kemungkinan titik dasar yang berbeda akan menjadi isomorfik.

Dan $\pi_1(X)$ biasanya merupakan kelompok fundamental dari $X$, ($\pi_n(X)$ menjadi $n$-kelompok homotopi $X$, tempat Anda mempertimbangkan kelas peta homotopi $S^n$ ke $X$.)