Pecahkan integral ini $\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$

Question

Mari kita tunjukkan

$$I_{m,n} = \int \sin^m{x} \cos^n{x}\ dx$$

dimana $m,n$ adalah bilangan bulat (mungkin negatif atau nol).

Ada beberapa rumus berulang yang terkenal untuk $I_{m,n}$

Jadi ... sebagai contoh saya mencoba menyelesaikan integral khusus ini

$$\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$$

menggunakan rumus berulang ini dan akhirnya saya mendapat jawaban ini
(perhitungannya tidak terlalu lama, hanya 1 atau 2 lembar A4):

$$F(x) = \frac{5}{8} \ln {|\tan \frac{x}{2}|} - \frac{5}{24} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^4{x}}$$

Tapi WA tidak memberi saya ekspresi sederhana saat saya membedakan $F(x)$

Apakah jawaban saya salah? Bagaimana cara memeriksanya dengan beberapa alat selain WA?

Ada ide bagaimana memverifikasi?

EDIT: Sekarang saya memperbaiki masalah dalam perhitungan saya dan saya mendapatkan jawaban ini.

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Tapi tetap tidak sesuai dengan jawaban WA ...

Jawaban WA

Manakah yang benar di sini?

Answer 1

Anda membuat kesalahan di suatu tempat. Dari WA dan setelah penyederhanaan, Anda harus memiliki (apa yang saya dapatkan):

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Biarkan aku tahu!

---

saya pikir $24\ln|\tan(\frac{x}{2})|$ jelas dan kami mengalikannya dengan $\frac{1}{64}$ untuk memberikan istilah yang benar.

Kemudian tulis ulang istilah yang tersisa (dari WA) sebagai:

$$\frac{1}{64}\big[-\frac{1}{\sin^{4}(\frac{x}{2})}-\frac{6}{\sin^{2}({\frac{x}{2})}}+\frac{1}{\cos^{4}(\frac{x}{2})}+\frac{6}{\cos^{2}({\frac{x}{2})}}\big]$$ $$=\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]+\frac{1}{64}\big[\frac{\sin^{4}(\frac{x}{2})-\cos^{4}(\frac{x}{2})}{\sin^4({\frac{x}{2})\cos^{4}(\frac{x}{2})}}\big].$$

Kemudian gunakan $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ dan $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ istilah pertama menjadi:

$$\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]=-\frac{3}{32}\big[\frac{\cos(x)}{\frac{\sin^{2}(x)}{4}}\big]=-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.$$

Untuk istilah lain yang kita miliki (pembilang adalah bentuknya $(A^2-B^2)=(A-B)(A+B)$):

$$-\frac{1}{64}\big[\frac{\cos^{2}(\frac{x}{2})-\sin^2({\frac{x}{2})}}{\frac{\sin^{4}(x)}{2^4}}\big]=-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.$$

Answer 2

Menggunakan $$\frac{1}{\sin^5x}dx=\frac{\sin{x}}{(1-\cos^2x)^3}dx=-\frac{d(\cos{x})}{(1-\cos^2x)^3}$$

Answer 3

Anda merasionalisasi dengan perubahan variabel sederhana $t:=\cos x$:

$$\int\frac{dt}{(1-t^2)^3}.$$

Dekomposisi fraksi parsial adalah

$$\frac3{16(1+t)}-\frac3{16(1-t)}+\frac3{16(1+t)^2}+\frac3{16(1-t)^2}+\frac1{8(1+t)^3}-\frac1{8(1-t)^3}$$ dan tidak menimbulkan kesulitan.

$$\frac3{16}\log(1-\cos^2x)-\frac3{8(1-\cos^2 x)}+\frac{1+\cos^2x}{8(1-\cos^2 x)^2}.$$

Answer 4

Wolfram Alpha setuju dengan Anda. Anda baru saja salah mengetik koefisien saat menentukan dugaan antiturunan yang ingin Anda bedakan. Saya perlu beberapa kali bereksperimen dengan tanda kurung agar memahami kueri yang dikoreksi.

Answer 5

Saya ingin menyarankan metode lain: rumus reduksi untuk cosecant (Anda tahu itu $1$ over sinus adalah fungsi cosecant):

$$\int \csc^m(x)\ \text{d}x = -\dfrac{\cos(x)\csc^{m-1}(x)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2}(x)\ \text{d}x$$

Gunakan dua kali.

Selama proses, Anda harus mengintegrasikan cosecan itu sendiri, yang merupakan integral terkenal:

$$\int \csc(x)\ \text{d}x = -\ln(\cot(x) + \csc(x))$$

Dan akhirnya hasilnya adalah:

$$-\frac{1}{64} \csc ^4\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{3}{32} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{64} \sec ^4\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{32} \sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{8} \log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{3}{8} \log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$$