Temukan $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

Dari sana, saya melihat itu $e^x$ pendekatan $0$ sementara $\cos{x}$ berosilasi di antara $-1$ dan $1$.

Jawaban saya adalah bahwa batasan itu tidak ada . Apa alasan yang tepat untuk menjelaskan ini? Apakah batasnya berosilasi selamanya, mendekat$\pm\infty$, dll.?

Answer 1

Ya ide Anda benar, untuk menunjukkan bahwa dengan cara yang ketat mari kita pertimbangkan itu $x_n= -2\pi n \to -\infty$ sebagai $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

dan untuk $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

oleh karena itu batasannya tidak ada.

Answer 2

Mengambil $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, dimana $k$ adalah integer dan $k\rightarrow-\infty$.

Kami melihat itu $e^{-x}\cos{x}=0.$

Di sisi lain, untuk $x=\pi k$ dan $k\rightarrow-\infty$ kita punya $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

Id est, batas tidak ada.

Answer 3

Terapkan uji rasio pada urutan tersebut $x=-2\pi n$.