Tunjukkan 2 integral sama

Question

Saya memiliki dua variabel acak terus iid $X_0, X_1$, dengan PDF $f$, dimana dukungannya $\subset$ $[0,\infty)$.

Saya perlu menghitung $P(X_0 \geq X_1)$. Saya tahu jawabannya adalah$\frac{1}{2}$karena simetri. Namun, saya ingin membuktikannya secara langsung menggunakan integral.

Saya mencoba:

Kami tahu itu $f(x,y) = f(x)f(y)$. Jadi perlu ditunjukkan:

$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x_0}f(x_1)f(x_0)\,dx_1\,dx_0 = \frac{1}{2}$

Sejak $f(x,y) = f(x)f(y)$ adalah PDF yang kami miliki:

$1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}f(x_1)f(x_0) \,dx_1\,dx_0 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x_0}f(x_1)f(x_0) \,dx_1\,dx_0 + \int_{0}^{\infty} \int_{x_0}^{\infty}f(x_1)f(x_0) \,dx_1\,dx_0 $

Jadi cukup untuk menunjukkan bahwa: $\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x_0}f(x_1)f(x_0) \,dx_1\,dx_0 = \int_{0}^{\infty} \int_{x_0}^{\infty}f(x_1)f(x_0) \,dx_1\,dx_0 $

Untuk menyimpulkan. Saya mencoba memanipulasi integral, tetapi saya tidak dapat menunjukkannya. Saya rasa saya perlu menggunakan Fubini, tetapi saya tidak yakin.

Terima kasih untuk bantuannya!

Answer 1

Asumsi itu $\mathbb P(X_0\geqslant 0)=1$tidak perlu. Menggunakan integrasi berdasarkan bagian, kami dapat menunjukkannya\begin{align} \mathbb P(X_0\geqslant X_1) &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{x_0} f(x_1)f(x_0)\ \mathsf dx_1\ \mathsf dx_0\\ &=\int_{-\infty}^\infty F(x_0) f(x_0)\ \mathsf dx_0\\ &= \left[F(x_0)^2 \right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty F(x_0)f(x_0)\ \mathsf dx_0\\ &= 1 - \int_{-\infty}^\infty F(x_0) f(x_0)\ \mathsf dx_0, \end{align} dan karenanya $$ \int_{-\infty}^\infty F(x_0) f(x_0)\ \mathsf dx_0 = 1 - \int_{-\infty}^\infty F(x_0) f(x_0)\ \mathsf dx_0, $$ maka $$ \int_{-\infty}^\infty F(x_0) f(x_0)\ \mathsf dx_0 = \frac12, $$ yang melengkapi buktinya.