2 차 변이의 수렴

시퀀스 용 $ M^n=\{M_t^n, t\in [0,1] \} $ 정사각형 적분 마팅 게일의 결론 $ M^n\overset{D([0,1])}{\longrightarrow}\mathrm{BM} $ ...에서 $ [M^n]_t\to t, t\in [0,1] $사실이 아닐 수 있습니다. 책 476 페이지 : Jacod, J. 및 AN Shiryayev, 확률 적 과정에 대한 한계 이론 , 2ed . Springer, 2003, 조건을 보여주는 예가 있습니다 ($ [M^n]_t\to t, t\in [0,1] $)는 충분하지 않습니다. 또한 같은 책의 p.473에서 Theorem 3.11은 다음과 같이 설명합니다.$ |\Delta M^n|\le K $, 결론은 괜찮습니다. 일반적으로$ M^n\overset{D([0,1])}{\longrightarrow}\mathrm{BM} $, 추가 제한 $|\Delta M^n|$ (린데 버그의 상태와 유사)는 필수입니다.

이전 답변에 약간을 추가하면 대괄호 대신 꺾쇠 괄호 (일부 상황에서는 더 자연스러운 질문)로 질문을 공식화하면 진술도 사실이 아닙니다. 언제라도$M_n = M$ 모든 $n$ 과 $\langle M \rangle_t = t$.

마틴 게일 $M$ cadlag 경로 및 2 차 변형 포함 $\langle M \rangle_t = t$ 표준 Brownian 모션이 될 필요는 없습니다. $M_t$ 보상 된 푸 ​​아송 프로세스 $N_t - t$ 어디 $N_t$ 강도가있는 푸 아송 과정 $1$. 그러나이 반례를 고려하면 약한 수렴 조건에서 진술이 유지 될 때 충분한 조건이 될 것입니다.$D[0,1]$.

문제는 $M$Kolmogorov의 연속성 기준이 충족되면 연속 샘플 경로가있는 버전을 제공하기 때문에 Brownian 운동과 동일한 유한 차원 분포를 갖습니다. 올바른 1 차 모멘트와 2 차 변동 / "무한한 2 차 모멘트"를 갖는 것은 브라운 운동과 동일한 유한 차원 분포를 갖는 것을 보장하기에 충분하지 않습니다.

가정 $\langle M \rangle_t = t$ 그리고 그 $M$ 독립적 인 증분이 있습니다. $M_t = N_t - t$. (일반적인 마팅 게일의 경우는 크게 다르지 않습니다. 조건부 수단으로 무조건적인 수단을 대체해야합니다.)

$M$ 다음과 같은 경우에만 브라운 운동과 동일한 유한 차원 분포를 갖습니다. $$ \phi_{\lambda}(t) = E[e^{i \lambda M_t}] = e^{-\frac12 \lambda^2 t}, $$ 또는
$$ \frac{d}{dt} \phi_{\lambda}(t) = -\frac12 \lambda^2 \phi_{\lambda}(t), \; \phi_{\lambda}(0) = 1. $$ 이 ODE는 작은 증분에 대해 $\Delta_h = M_{t+h} - M_t$, 우리는 $$ E[e^{i \lambda \Delta_h}] = E[ 1 + i \lambda \Delta_h - \frac12 \lambda^2 \Delta_h^2 + \cdots ] = 1 - \frac12 \lambda^2 h + r(h), \quad \quad (*) $$ 나머지 기간 $r(h) = o(h)$즉, 다음보다 빨리 사라져야합니다. $h$. 이것은 일반적으로 사실이 아닙니다. 예 : 프로세스$N_t - t$, 하나는 직접 계산할 수 있습니다 $$ E[e^{i \lambda \Delta_h}] = e^{-\frac12 \lambda^2 h + O(h)} = 1 - \frac12 \lambda^2 h + O(h). $$ 나머지 기간은 $O(h)$ 그리고 아닙니다 $o(h)$, 및 $N_t - t$ Brownian 운동과 동일한 유한 차원 분포가 없습니다.

나머지가 $r(h)$ 에 $(*)$ 되려고 $o(h)$ 모두를 위해 $t$, $$ \lim_{\alpha \rightarrow \infty} \limsup_{h \rightarrow 0} E[ \frac{ \Delta_h^2 }{h} \cdot 1_{ \{ \frac{ \Delta_h^2 }{h} > \alpha \} } ] = 0. \quad \quad (**) $$ 균일 한 통합 성 조건 $(**)$ CLT에 대한 린데 버그 조건의 일종의 무한한 버전입니다.

커플 코멘트 :

1. 모든 지역 마틴 게일 $M$와 연속 경로 및$\langle M \rangle_t = t$표준 브라운 운동 (Levy 's Theorem)이어야합니다. 이 논의의 맥락에서 이것은 샘플 경로의 연속성이$r(h)$ 에 $(*)$ 이다 $o(h)$--- 실제로 이것은 지속적인 지역 마틴 게일에 대한 Ito의 기본형입니다. 마틴 게일 속성이 필요합니다.$\int d \langle M \rangle_t$ 간격을 통해 다음의 합계로 근사 할 수 있습니다. $\Delta_h^2$의 $h \rightarrow 0$ 경로가 연속적 일 때.

2. 이토의 기본형을 다시 인용하면 $(*)$무한 생성기의 관점에서 다시 캐스팅 할 수 있습니다. 마틴 게일은 무한한 생성기가 다음과 같은 경우에만 브라운 운동입니다.$\frac{d^2}{dx^2}$.

시퀀스로 $\{ M_n, n \geq 1\}$--- 첫째, 각각을 가정 할 필요 나 이유가 없습니다. $M_n$마틴 게일입니다. 예를 들어, 종속 시퀀스 (강한 혼합 / 혼합 등)의 부분 합이 Brownian 운동에 약하게 수렴하는 다양한 버전의 Functional Central Limit Theorem을 참조하십시오. 마틴 상태는 "한계 내"만 유지하면됩니다.

둘째, 견고 함을 고려해야합니다. 별도의 가정이 필요하므로$\{ M_n, n \geq 1\}$ 꽉 끼다 $D$. 그런 다음 약한 한계가 브라운 운동임을 보장하는 표준 충분한 조건이 다시$(**)$, 임의의 요소 시퀀스로 적절하게 확장 $D[0,1]$. 자세한 논의는 Billingsley 의 Convergence of Probability Measures의 섹션 19에서 찾을 수 있습니다 .