2 차 필드의 규범

이것은 거짓입니다. 가장 작은 반례는$d = 34$. 허락하다$K = \mathbb{Q}(\sqrt{34})$. 의 기본 단위$\mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}[\sqrt{34}]$ 이다 $35 + 6 \sqrt{34}$, 표준이 있습니다. $1$, 따라서 요소가 없습니다. $\mathcal{O}_{K}$ 규범으로 $-1$.

하나, $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{34}$ 규범이있다 $-1$, 그래서 규범의 요소가 있습니다 $-1$ 에 $K$.

Jeremy Rouse는 이미 반례를 제시했지만 조금 더 자세히 설명하겠습니다. 여부에 대한 질문$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 규범의 요소를 포함 $-1$ 순전히 로컬입니다. $d$두 개의 유리수 제곱의 합입니다. 실제로 우리가 가정한다면$d$ 제곱이 없습니다. 모든 홀수 소수가 $d$ ~에 합동하다 $1$ 모듈로 $4$.

정수의 고리 여부에 대한 질문 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 규범의 요소를 포함 $-1$ 훨씬 더 미묘하고 실제로는 클래스 그룹에 대한 질문입니다. $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$그리고 좁은 학급 그룹. 우리가 넣으면$K_d = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 과 $\text{CL}(K_d), \text{CL}^\sharp(K_d)$ 클래스 그룹 및 좁은 클래스 그룹 $K_d$ 각각 규범 요소의 존재 $-1$ 에 $\mathcal{O}_{K_d}$ 다음과 같다 $\text{CL}(K_d) \cong \text{CL}^\sharp(K_d)$. 이것은 미묘한 조건입니다. 기준을 다소 단순화 할 수 있습니다.$2^\infty$-비틀림이 중요합니다. 단순화 된 기준은 다음과 같은 주장입니다.$\text{CL}(K_d)[2^k] \cong \text{CL}^\sharp(K_d)[2^k]$ 모든 $k \geq 1$. 조건$\text{CL}^\sharp(K_d)[2] \cong \text{CL}(K_d)[2]$ 필드와 동일 $K_d$ 규범의 요소를 포함 $-1$, 그리고 물론 정수 링이 규범 요소를 포함하는 데 필요한 조건입니다. $-1$.

편집 : 점근 적으로 세트를 강조해야합니다. $$S_1 = \{d : K_d \text{ contains an element of norm } -1\}$$ 과 $$S_2 = \{d : \mathcal{O}_{K_d} \text{ contains an element of norm } -1\}$$밀도가 같지 않으므로 반례가 무한히 많습니다. 이것은 이 논문 에서 Fouvry와 Kluners에 의해 입증되었습니다 . 같은 논문에서 그들은 또한 밀도에 대한 점근 공식을 기대한다고 언급합니다.$S_2$, Stevenhagen이 제공합니다.

Dirichlet의 Gauss 작곡 버전은 Cox의 책 (첫 번째 49 페이지)에 있으며, 두 번째 버전에서 작은 오타가 수정되었습니다. 우리의 목적을 위해, 복제는$a=a'$ 처음부터 $\gcd(a,b) = 1$ 접미사, $$ \left( ax^2 +bxy+ acy^2 \right) \left( aw^2 +bwz+ acz^2 \right) = c X^2 + b XY + a^2 Y^2 $$ 어디 $$ X = axz + ayw+byz \; \; , \; \; \; Y = xw - c yz $$ 그래서 제곱 $\langle a,b,ac \rangle$ 이다 $\langle c,b,a^2 \rangle.$

오늘의 질문 우려 $c=-1$

$$ \left( ax^2 +bxy -ay^2 \right) \left( aw^2 +bwz -az^2 \right) = - X^2 + b XY + a^2 Y^2 $$ 어디 $$ X = axz + ayw+byz \; \; , \; \; \; Y = xw + yz $$ 그래서 $$\langle a,b,-a \rangle^2 = \langle -1,b,a^2 \rangle.$$ 또한 판별자가 두 제곱의 합이라는 Stanley의 사실을 볼 수 있습니다. $b^2 + 4 a^2$ 내가 쓴 방식.

중복에 대한 가우스 정리에 따르면 $ \langle -1,b,a^2 \rangle$ 주요 속이다

또한, 우리는 이제 주요 형태가 $SL_z \mathbb Z$ 에 상응하는 $$ \langle 1,b,-a^2 \rangle $$ 주요 양식은 통합적으로 표현할 수 없습니다. $-1$ 하지만 합리적으로 그렇게합니다.

같은 속에있는 것에 관해서 우리는 필수적인 분모없이 합리적 동등성에 대한 Siegel의 정의를 사용할 수 있습니다.

$$ \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -a^2 & -b \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & -a^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 0 & -a^2 \\ 1 & -b \\ \end{array} \right) = \; a^2 \; \left( \begin{array}{rr} -1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a^2 \\ \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{rr} b & 1 \\ -a^2 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} -1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} b & -a^2 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \; a^2 \; \left( \begin{array}{rr} 1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & -a^2 \\ \end{array} \right) $$